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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1j

Calcule

j) underset(x -> 0^-)(lim) (1 - cos x)^((1)/(x))

Passo 1

Esse limite é do tipo 0^(- oo) . Nesse caso, nós vamos usar esse fato aqui:

a^b = e^(ln (a^b)) = e^(b l n (a))

Isso vai ser muito útil pra gente, porque vai fugir da indeterminação! Então vai ficar assim:

underset(x -> 0^-)(lim) (1 - cos x)^((1)/(x)) = underset(x -> 0^-)(lim) e^(ln (1 - cos x)^((1)/(x))) = underset(x -> 0^-)(lim) e^((1)/(x) ln (1 - cos x))

E aí como a base é constante, o limite vai depender só do expoente!

underset(x -> 0^-)(lim) (1 - cos x)^((1)/(x)) = e^((underset(x -> 0^-)(lim) (1)/(x) ln (1 - cos x)))

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada no limite do expoente:

underset(x -> 0^-)(lim) (1)/(x) ln (1 - cos x) -> - (1)/(0) ln (1 - 1) = - (1)/(0) ln (0) -> - (oo) (- oo) -> + oo

Então o limite da questão vai ser,

underset(x -> 0^-)(lim) (1 - cos x)^((1)/(x)) = e^((underset(x -> 0^-)(lim) (1)/(x) ln (1 - cos x))) = e^(+ oo)

underset(x -> 0^-)(lim) (1 - cos x)^((1)/(x)) = + oo

Resposta

underset(x -> 0^-)(lim) (1 - cos x)^((1)/(x)) = + oo

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