Calcule

j) lim x → 0 - ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 x

Passo 1

Esse limite é do tipo 0 - ∞ . Nesse caso, nós vamos usar esse fato aqui:

a b = e ln ⁡ a b = e b l n a

Isso vai ser muito útil pra gente, porque vai fugir da indeterminação! Então vai ficar assim:

lim x → 0 - ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 x = lim x → 0 - ⁡ e ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 x = lim x → 0 - ⁡ e 1 x ln ⁡ 1 - cos ⁡ x

E aí como a base é constante, o limite vai depender só do expoente!

lim x → 0 - ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 x = e lim x → 0 - ⁡ 1 x ln ⁡ 1 - cos ⁡ x

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada no limite do expoente:

lim x → 0 - ⁡ 1 x ln ⁡ 1 - cos ⁡ x → - 1 0 ln ⁡ 1 - 1 = - 1 0 ln ⁡ 0 → - ∞ - ∞ → + ∞

Então o limite da questão vai ser,

lim x → 0 - ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 x = e lim x → 0 - ⁡ 1 x ln ⁡ 1 - cos ⁡ x = e + ∞

lim x → 0 - ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 x = + ∞

Resposta

lim x → 0 - ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 x = + ∞

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