Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 36
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para que a gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada ou não.
Analisando o limite dado pelo enunciado
vemos que quando , temos
Então nosso limite será:
Para ser apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo ou .
Neste caso, obtemos a forma e a Regra de l’Hôspital é aplicável.
Passo 3
E vimos que quando:
Podemos fazer:
Então é isso que faremos, vamos derivar o numerador e o denominador e então recalcular o limite.
Vamos chamar
E sua derivada será dada pela regra do produto, onde fazemos a derivada da primeira função, multiplicada pela segunda, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda. Assim:
E teremos:
E para
Basta usarmos a regra do expoente, assim:
Com isso nosso limite se torna:
Passo 4
Agora vamos tentar calcular esse limite novamente, fazendo:
Como:
E conseguimos não cair em indeterminação novamente. Sendo assim, esse é nosso resultando.