Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 46
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
E aí, galerinha! Nesse problema temos que calcular o seguinte limite:
Mas precisamos calcular usando a regra de L’Hôspital, se for possível. Essa regra é uma maneira de resolver limites indeterminados do tipo ou
Resumidamente, ela diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas, desde que as condições dadas estejam satisfeitas.
Ou seja, se e são deriváveis, valendo que
ou
e também que
então
É necessário que as condições sejam válidas, para que seja possível utilizar a Regra de l’Hôspital, combinado?
Observe que não temos um limite indeterminado do tipo ou Então para pensarmos em usar a Regra de L’Hôspital, uma boa ideia seria tentar manipular a expressão que estamos querendo obter o limite, visando obter uma nova que nos permita usar a Regra.
Vamos ver como fazer isso nos próximos passos 👀!
Passo 2
Sabemos que para aplicarmos esta Regra temos que ter a seguinte estrutura no limite:
Mas o limite
não apresenta esta forma, né? Porém, podemos reescreve-lo de forma que atenda a este requisito. Dá uma olhada como.
Com a mudança de variável vamos ter que quando , então
Além disso, vale que
Dessa forma, podemos reescrever o limite que queremos calcular da seguinte maneira:
Passo 3
Vamos verificar se as condições da Regra de L’Hospital são satisfeitas!
Sejam e Então:
e
Portanto, o limite que queremos calcular é do tipo
Agora precisamos verificar se existe o limite
Precisamos encontrar as derivadas e
💡Lembrando:
- A derivada do logaritmo natural é
- A Regra da Cadeia
Assim, (usando a regra da cadeia):
ou seja,
Derivar é molezinha:
Agora é só calcular o limite
Como o limite existe, pela regra de L’Hôspital, vale