Calcule

q) int int int_B cos z * d x * d y * d z onde B é o conjunto 0 <= x <= (pi)/(2) , 0 <= y <= (pi)/(2) e x - y <= z <= x + y .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

int int int_B cos z * d x * d y * d z = int int_K [int_(x - y)^(x + y) cos z * d z] * d x * d y =

= int int_K [sin (x + y) - sin (x - y)] * d x * d y

Temos que nosso conjunto K será 0 <= x <= (pi)/(2) , 0 <= y <= (pi)/(2) . Depois de muita reflexão e tentativas falhas (não julguem seu pobre amigo da resolução), percebi que podemos abrir uma expansão dos senos, como sin (A + B) = sin A * cos B + sin B * cos A . Dessa forma, temos que

int int_K [(sin x * cos y + sin y * cos x) - (sin x * cos y - sin y * cos x)] * d x * d y =

= int int_K [2 * sin y * cos x] * d x * d y = 2 * int_0^((pi)/(2)) sin y * d y int_0^((pi)/(2)) cos x * d x = 2 * (1) * (1) = 2

Resposta

int int int_B cos z * d x * d y * d z = 2

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