Calcule

q) ∫ ∫ ∫ B cos ⁡ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 0 <= x <= pi / 2 , 0 <= y <= pi / 2 e x - y ≤ z ≤ x + y .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

∫ ∫ ∫ B cos ⁡ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ x - y x + y cos ⁡ z ⋅ d z ⋅ d x ⋅ d y =

= ∫ ∫ K sin ⁡ x + y - sin ⁡ x - y ⋅ d x ⋅ d y

Temos que nosso conjunto K será 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ π 2 . Depois de muita reflexão e tentativas falhas (não julguem seu pobre amigo da resolução), percebi que podemos abrir uma expansão dos senos, como sin ⁡ A + B = sin ⁡ A ⋅ cos ⁡ B + sin ⁡ B ⋅ cos ⁡ A . Dessa forma, temos que

∫ ∫ K sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ y + sin ⁡ y ⋅ cos ⁡ x - sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ y - sin ⁡ y ⋅ cos ⁡ x ⋅ d x ⋅ d y =

= ∫ ∫ K 2 ⋅ sin ⁡ y ⋅ cos ⁡ x ⋅ d x ⋅ d y = 2 ⋅ ∫ 0 π 2 sin ⁡ y ⋅ d y ∫ 0 π 2 cos ⁡ x ⋅ d x = 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2

Resposta

∫ ∫ ∫ B cos ⁡ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 2

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