Calcule

o) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 + z^2 <= 4 , z >= 0 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K 2 ⋅ ∫ 0 4 - x 2 - y 2 z ⋅ d z ⋅ d x ⋅ d y

Para descobrir nosso conjunto K , vamos pegar um valor especifico de z . Supondo z = 0 , temos que x 2 + y 2 ≤ 4 , que é uma circunferência. Aplicando uma transformação para coordenadas polares, ficamos com

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

0 ≤ ρ ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

Nosso jacobiano ficará d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Partindo para integração, temos que

∫ ∫ K z 2 0 4 - x 2 - y 2 ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K 4 - x 2 - y 2 ⋅ d x ⋅ d y =

= ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 2 4 - ρ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = 2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ ρ 2 2 - ρ 4 4 0 2 = 2 ⋅ π ⋅ 8 - 4 = 8 ⋅ π

Resposta

∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 8 ⋅ π

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