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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2h

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

h) x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 ⋅ x + 2 ⋅ y .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular o volume do conjunto através da integral tripla. Para isso, vamos reduzir o problema de uma integral tripla para dupla, encontrando o novo conjunto K e os intervalos de integração. Vamos lá!

Passo 2

Temos que o volume é dado pela integral

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ a b d z ⋅ d x ⋅ d y

Substituindo nossos intervalos, chegamos que

∫ ∫ K ∫ x 2 + y 2 4 ⋅ x + 2 ⋅ y d z ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K 4 ⋅ x + 2 ⋅ y - x 2 - y 2 ⋅ d x ⋅ d y

Para nosso K , precisamos fazer a intersecção entre os dois limites, logo x 2 + y 2 = 4 ⋅ x + 2 ⋅ y . Completando quadrados, chegamos que x - 2 2 + y - 1 2 = 5 . Aplicando agora uma transformação para coordenadas polares, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ + 2

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ + 1

0 ≤ ρ ≤ 5

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo na integral e resolvendo, chegamos que

∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 5 5 - ρ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = ∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 0 5 ( 5 - ρ 2 ) ⋅ ρ ⋅ d ρ =

= 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ ρ 2 2 - ρ 4 4 0 5 = 2 ⋅ π ⋅ 25 2 - 25 4 = 25 ⋅ π 2

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = 25 ⋅ π 2

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