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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1p

Calcule

p) int int int_B 2 * z * d x * d y * d z onde B é o conjunto 4 * x^2 + 9 * y^2 + z^2 <= 4 , z >= 0 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

int int int_B 2 * z * d x * d y * d z = int int_K 2 * [int_0^(sqrt(4 - 4 * x^2 - 9 * y^2)) z * d z] * d x * d y

Para descobrir nosso conjunto K , vamos pegar um valor especifico de z . Supondo z = 0 , temos que 4 * x^2 + 9 * y^2 <= 4 , que é uma elipse. Aplicando uma transformação para coordenadas polares, ficamos com

x = (1)/(2) * rho * cos theta

y = (1)/(3) * rho * sin theta

0 <= rho <= 2

0 <= theta <= 2 * pi

Nosso jacobiano ficará d x * d y = (1)/(6) * rho * d rho * d theta . Partindo para integração, temos que

int int_K (z^2)_0^(sqrt(4 - 4 * x^2 - 9 * y^2)) * d x * d y = int int_K (4 - 4 * x^2 - 9 * y^2) * d x * d y =

= int_0^(2 * pi) int_0^2 (4 - rho^2) * (rho)/(6) * d rho * d theta = (1)/(6) * int_0^(2 * pi) (2 * rho^2 - (rho^4)/(4))_0^2 * d theta = (2)/(3) * 2 * pi = (4 * pi)/(3)

Resposta

int int int_B 2 * z * d x * d y * d z = (4 * pi)/(3)

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Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo.h) W = x , y , z ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≥ 4 ,x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 2 ,z ≤ 3 x 2 + y 2
Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo.d) É limitado pelo cone z = x 2 + y 2 , pelo cilindro x 2 + y 2 - x 2 + y 2 = x e por z = 0 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 2 ∫ 0 2 - y ∫ 0 4 - y 2 d x d z d y
Determine o volume do sólido dado. Acima do paraboloide z = x 2 + y 2 e abaixo do semicone z = x 2 + y 2 .
Determine o volume do sólido dado. Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelos planos z = 0ey + z = 3 .