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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1r

Calcule

r) int int int_B (y - x) * d x * d y * d z onde B é o conjunto 4 <= x + y <= 8 , (1)/(x) <= y <= (2)/(x) , y >= x e 0 <= z <= ((x * y)^((1)/(3)))/(sqrt(x + y)) .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar esse grande sofrimento que será... Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

int int int_B ( y - x ) * d x * d y * d z = int int_K (y - x) * [int_0^(((x * y)^((1)/(3)))/(sqrt(x + y))) d z] * d x * d y

Vemos que nosso conjunto K será o intervalo 4 <= x + y <= 8 , (1)/(x) <= y <= (2)/(x) , y >= x . Novamente precisamos nos atentar ao y >= x pois será muito importante. Vamos fazer uma transformação de coordenadas: vamos chamar x + y = u e x * y = v . Assim, temos que nosso novo intervalo fica

4 <= u <= 8

1 <= v <= 2

Agora precisamos encontrar quem é x e quem é y ...Vamos lá então. Isolando y para a relação de u e substituindo na de v , chegamos que

x^2 - u * x + v = 0

Que, ao resolvermos, ficamos que

x = (u +- sqrt(u^2 - 4 * v))/(2)

Mas só um valor pode ser válido, pois y >= x , então vamos descobrir o valor de y para o resultado positivo de x !

x + y = u -> (u + sqrt(u^2 - 4 * v))/(2) + y = u

y = (1)/(2) * u - (1)/(2) * sqrt(u^2 - 4 * v)

Que é inválido, pois para esse caso y <= x . Logo os resultados verdadeiros são

x = (u - sqrt(u^2 - 4 * v))/(2)

y = (u + sqrt(u^2 - 4 * v))/(2)

Agora, calculando o jacobiano dessa transformação, que será um pouco chato de calcular, chegaremos que

(del (x , y))/(del (u , v)) = (u^2 - 4 * v)^(- (1)/(2)) * d u * d v

E, finalmente, temos tudo que precisamos para calcular a integral!!!

int int_K (y - x) * ((x * y)^((1)/(3)))/(sqrt(x + y)) * d x * d y = int_0^8 int_1^2 (u^2 - 4 * v)^((1)/(2)) * (v^((1)/(3)))/(u^((1)/(2))) * (u^2 - 4 * v)^(- (1)/(2)) * d u * d v =

= int_0^8 u^(- (1)/(2)) * d u * int_1^2 v^((1)/(3)) * d v = [2 * u^((1)/(2))]_0^8 * [(3)/(4) * v^((4)/(3))]_1^2 = (3)/(2) * (sqrt(8) - 2) * (16^((1)/(3)) - 1) tildetilde 1,89

(finalmente)

Resposta

int int int_B (y - x) * d x * d y * d z tildetilde 1,89

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Calcule a seguinte integral tripla: ∭ W zd xd yd x Onde, W é a região no primeiro octante limitada pelos planos y = 0 , z = 0 , x + y = 2 , 2 y + x = 6 e o cilindro y 2 + z 2 = 4 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo. W é limitado pelo cone z = x 2 + y 2 e o parabolóide z = x 2 + y 2 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo:(b) W é limitado pelas superfícies z = 8 - x 2 - y 2 e z = x 2 + 3 y 2 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo:(e) W = {(x , y , z) in R^3,z = 1 ; x + y + z = 7 ; x = y^2} .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo.(c) W é limitado pelas superfícies z = 4 - x 2 - y 2 e z = y , está situado no interior do cilindro x 2 + y 2 = 1 , e z ≥ 0 .