Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.1 - Ex. 79
Demonstre o Teorema de Fermat para o caso no qual tenha um mínimo local em .
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma?! O problema pede pra a gente demonstrar o Teorema de Fermat para o caso no qual tenha um mínimo local em .
Mas antes de qualquer coisa:
O Teorema de Fermat afirma que se uma função possui um mínimo local em e existe, então a derivada da função em deve ser igual a zero, ou seja, .
Passo 2
Se tem um mínimo local em , então:
Tem um máximo local em , logo:
Ppelo caso do Teorema de Fermat provido no texto. Assim:
Outra forma de ver a situação é a seguinte:
Suponhamos que tenha um mínimo local em . Isso significa que existe um intervalo aberto em torno de (c)no qual é menor ou igual a para todos os valores de dentro desse intervalo, exceto para .
A derivada representa a taxa de variação de em . Se possui um mínimo local em então a inclinação da tangente à curva da função em deve ser horizontal (ou seja, a derivada é zero), porque, se a inclinação não fosse horizontal, haveria um ponto em que a função estaria crescendo ou decrescendo, o que não seria consistente com a definição de mínimo local.
Portanto, podemos concluir que quando possui um mínimo local em demonstrando assim o Teorema de Fermat para esse caso.
Resposta
Desenvolvimento acima.