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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 8

8. Um campo de forças é dado por:

f → x , y = - r → | r → | 3

Onde r → = ( x , y ) . Sob a ação desse campo, uma partícula desloca-se sob a curva x 2 + 4 y 2 = 16 no sentido horário, do ponto A ( 4 ,   0 ) ao ponto B ( 0 ,   2 ) . Determinar o trabalho realizado por f → nesse deslocamento.

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y d r →

E a nossa força f → x , y é dada por:

f → x , y = - r → | r → | 3

Só que r → = ( x , y ) , o que nos leva à:

f → x , y = - ( x , y ) x 2 + y 2 3 = - x x 2 + y 2 3 , - y x 2 + y 2 3

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa. Bora tratar de parametrizar a curva C , que é dada por:

x 2 + 4 y 2 = 16

Eu não sei vocês, mas isso aí tá com cara de elipse. Quer ver só? Vamos tentar trabalhar um pouco mais em cima dessa expressão. Bora dividir tudo por 16 :

x 2 + 4 y 2 = 16

x 2 16 + y 2 4 = 1

x 2 4 2 + y 2 2 2 = 1

Não disse! Isso aí é uma elipse de centro na origem e mais achatadinha em x , por ( 4 > 2 ) .

Agora que descobrimos que nossa curva é uma elipse, vamos nos lembrar do jeito pelo qual as elipses, como formato x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1   são parametrizadas:

x = a ⋅ cos ⁡ t

y = b ⋅ sen ⁡ t

Como a = 4 e b = 2 no nosso caso, então...

x = 4 cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

Logo. Uma boa parametrização é:

γ t = ( 4 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t )

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Olha só! A nossa função é dada por:

f → x , y = - x x 2 + y 2 3 , - y x 2 + y 2 3

E para fazer a troca na função para os termos parametrizados, basta realizar a substituição no x , y com os valores que temos lá do P a s s o   1 :

f → x , y = - x x 2 + y 2 3 , - y x 2 + y 2 3

f → x , y = - 4 cos ⁡ t 16 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t 3 , - 2 sen ⁡ t 16 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t 3

f → x , y = - 4 cos ⁡ t ( 16 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t ) 3 / 2 , - 2 sen ⁡ t ( 16 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t ) 3 / 2

Pronto! Já temos uma função inteira em termos de t .

Passo 3

O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de r → t . Vamos lá:

γ ' t = ( - 4 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t )

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas o que são esses limites de integração?

Presta atenção! A partícula desloca-se sob a curva x 2 + 4 y 2 = 16 no sentido horário, do ponto A ( 4 ,   0 ) ao ponto B ( 0 ,   2 ) . Bora dar uma olhadinha na nossa elipse:

Dá pra ver claramente que a partícula percorre 3 / 4 da elipse em sentido horário. Portanto, nosso limite de integração vai de 0 até 3 π / 2 :

∫ 0 3 π / 2 f → x , y d r → =

= ∫ 0 3 π / 2 - 4 cos ⁡ t ( 16 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t ) 3 / 2 , - 2 sen ⁡ t ( 16 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t ) 3 / 2 ∙ ( - 4 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t ) d t =

= ∫ 0 3 π / 2 16   cos ⁡ t sen ⁡ t ( 16 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t ) 3 / 2 - 4   cos ⁡ t sen ⁡ t ( 16 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t ) 3 / 2 d t =

= ∫ 0 3 π / 2 12   cos ⁡ t sen ⁡ t ( 16 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t ) 3 / 2 d t = ∫ 0 3 π / 2 12   cos ⁡ t sen ⁡ t ( 12 cos 2 ⁡ t + 4 ) 3 / 2 d t

Bora tratar de resolver esse integralzinha por substituição. Chamemos...

u = 12 cos 2 ⁡ t + 4

E derivemos...

d u = - 24 cos ⁡ t s e n   t ⋅ d t

d u = - 2 12 cos ⁡ t s e n   t ⋅ d t

Agora, façamos a substituição na integral:

∫ 0 3 π / 2 - 1 2 u 3 2 d u = 1 u 16 4 = 1 12 cos 2 ⁡ t + 4 0 3 π / 2 = 1 2 - 1 4

Logo:

∫ 0 3 π / 2 12   cos ⁡ t sen ⁡ t ( 12 cos 2 ⁡ t + 4 ) 3 / 2 d t = 1 4

Resposta

T r a b a l h o   R e a l i z a d o = 1 4

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