Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 13
Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva dada.
13. ; é o arco da parábola , do ponto ao ponto .
Passo 1
Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:
E a nossa força é dada por:
Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa. Bora tratar de parametrizar a curva , que é dada por , indo do ponto
Primeiro, façamos o esboço dessa curva:
E como sabemos, devemos parametrizar essa curva. Conhecendo o fato de que é uma parábola dada por uma função explícita... Então, se chamarmos de , vamos ter que:
Obtemos, desse jeito, a seguinte parametrização:
Como é e varia da origem até , então:
Passo 2
O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.
Onde temos que:
Assim, bora tratar de fazer a troca:
Passo 3
Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo fazendo:
Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:
Passo 4
Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:
Pera! Mas quais são os limites de integração?
Presta atenção! Já definimos no que:
Nosso limite de integração vai de até , portanto: