Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.

13. f(x, y) = (x^2 y, xy) ; C é o arco da parábola x = y^2 , do ponto (0, 0) ao ponto (4,2) .

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y d r →

E a nossa força f → x , y é dada por:

f → x , y = ( x 2 y , x y )  

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa. Bora tratar de parametrizar a curva C , que é dada por x = y 2 , indo do ponto ( 0,0 )   a o   p o n t o   ( 4,2 ) .

Primeiro, façamos o esboço dessa curva:

E como sabemos, devemos parametrizar essa curva. Conhecendo o fato de que C é uma parábola dada por uma função explícita... Então, se chamarmos x de t , vamos ter que:

y 2 = t

y = t

Obtemos, desse jeito, a seguinte parametrização:

γ t = ( t , t )

Como t é x e x varia da origem até 4 , então:

0 ≤ t ≤ 4

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y = ( x 2 y , x y )

Assim, bora tratar de fazer a troca:

f → x , y = ( t 2 t , t t )

f → x , y = ( t 5 2 , t 3 2 )

Passo 3

Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' t = 1 , 1 2 t - 1 2

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Presta atenção! Já definimos no P a s s o   1 que:

0 ≤ t ≤ 4

Nosso limite de integração vai de 0 até 4 , portanto:

∫ 0 4 f → x , y d r → = ∫ 0 4 t 5 2 , t 3 2 ∙ 1 , 1 2 t - 1 2 d t =

= ∫ 0 4 t 5 2 + 1 2 t d t =

= t 5 2 + 1 5 2 + 1 + 1 2 ⋅ t 1 + 1 1 + 1 0 4 = 2 7 t 7 2 + 1 4 t 2 0 4 =

= 2 7 ( 2 2 ) 7 2 + 1 4 ( 2 2 ) 2 = 256 7 + 4 = 256 + 28 7

= 284 7

Resposta

284 7

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