Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.13. f → x , y = ( x 2 y , x y ) ; C é o arco da parábola x = y 2 , do ponto ( 0,0 ) ao ponto ( 4,2 ) .

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 13

Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva dada.

13. ; é o arco da parábola , do ponto ao ponto .

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

E a nossa força é dada por:

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa. Bora tratar de parametrizar a curva , que é dada por , indo do ponto

Primeiro, façamos o esboço dessa curva:

E como sabemos, devemos parametrizar essa curva. Conhecendo o fato de que é uma parábola dada por uma função explícita... Então, se chamarmos de , vamos ter que:

Obtemos, desse jeito, a seguinte parametrização:

Como é e varia da origem até , então:

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

Assim, bora tratar de fazer a troca:

Passo 3

Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo fazendo:

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Presta atenção! Já definimos no que:

Nosso limite de integração vai de até , portanto:

Resposta

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