Um retângulo será inscrito em um arco da curva y = 4 cos ⁡ 0,5 x , de x = - π a x = π . Quais as dimensões do retângulo de maior área, e qual é a maior área?

a área máxima é 8,978 . b = 3,4412 h = 2,609

Enunciado

Vamos olhar como é a figura desse retângulo nessa curva:

Se pegarmos as coordenadas daquele ponto sendo e

Vamos ter:

Assim, nosso retângulo tem dimensões sendo:

E a área vai ficar:

Com o indo de até , que é a limitação que ele deu.

Para achar a maior área possível, temos que achar o ponto de máximo de .

Para isso, temos que ver se existe algum extremo no intervalo de e comparar com os extremos do intervalo.

Vamos começar achando a derivada. Para isso, devemos usar a regra do produto:

Ela vai ser em:

Essa equação só sai se usarmos algum programa, não tem como resolver na mão.

Usando o geogebra, vamos ter o seguinte gráfico para essa função:

Assim, temos que:

É ponto crítico.

Aproveitando o gráfico, vemos que a primeira derivada muda de sinal em .

Ela vai do crescente, porque é positiva, para o decrescente. Então é ponto de máximo local.

Vamos comparar agora os valores de no máximo local e nos extremos do intervalo. Para isso, vamos usar uma calculadora.

Então vamos ter que a área máxima é .

Vamos achar as dimensões do retângulo.

Fazendo

a área máxima é .