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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 19

Determine as dimensões de um cilindro circular reto com o maior volume possível que possa ser inscrito em uma esfera de raio 10   c m . Qual o seu volume máximo?

Passo 1

Vamos chamar o raio do cilindro de r . Assim, vamos ter a seguinte situação:

O volume vai ser:

V = π r 2 h

A figura nos diz que a diagonal do retângulo de lados 2 r e h é iaugl ao diâmetro da esfera.

Logo:

2 r 2 + h 2 = 20 2

4 r 2 + h 2 = 400

Como temos r 2 na fórmula do volume, vamos isolá-lo. Isso vai facilitar as contas depois.

4 r 2 = 400 - h 2

r 2 = 100 - h 2 4

O volume vai ficar:

V = π 100 - h 2 4 h

V = π 100 h - h 3 4

A altura pode ir de 0 até o valor do diâmetro, que é 20

0 ≤ h ≤ 20

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

V ' = π 100 - 3 h 2 4

Fazendo isso igual a 0

π 100 - 3 h 2 4 = 0

Vamos ter:

100 - 3 h 2 4 = 0

3 h 2 4 = 100

3 h 2 = 400

h 2 = 400 3

h = ± 20 3

Só vamos olhar o h positivo

h = 20 3

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

V = π 100 - h 2 4 h

Vamos ter:

h = 0 → V = π 100 - 0 2 4 0 = 0

h = 20 3 → V = π 100 - 20 3 2 4 20 3   = π 100 - 400 4 . 3 20 3 = π 100 - 100 3 20 3 = π 200 3 . 20 3 = 400 π 3 3

h = 20 → V = π 100 - 20 2 4 20 = π 100 - 400 4 20 = π 100 - 100 20 = 0

O maior dos 3 valores é quando h = 20 3

O maior valor é 400 π 3 3

Resposta

400 π 3 3

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