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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.3 - Ex. 19

Encontre os valores máximo e mínimo locais de f usando ambos os Testes das Primeira e Segunda Derivadas. Qual método você prefere?

f x = x 5 - 5 x + 3

Passo 1

Olá, meu forte amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a aresolver essa atividade. Aqui queremos utilizar o Teste da primeira derivada e da segunda derivada para encontrar os valores máximos e mínimos locais.

Vamos dar uma olhada nestes teste primeiro.

Passo 2

Primeiramente, vamos obter as derivadas primeira e segunda:

f ' x = 5 x 4 - 5

E

f ' ' x = 20 x 3

Os pontos críticos são:

f ' x = 5 x 4 - 5 = 0

5 x 4 = 5

x 4 = 1

x = 1 x = - 1

Passo 3

Teste da Derivada Primeira:

Precisamos analisar o sinal da derivada primeiro:

f ' x > 0

f ' x = 5 x 4 - 5 > 0

5 x 4 > 5

x 4 > 1

x > 1

x < - 1 ou x > 1

E

f ' x < 0

f ' x = 5 x 4 - 5 < 0

5 x 4 < 5

x 4 < 1

x < 1

- 1 < x < 1

Logo, f é crescente no intervalo - ∞ , - 1 ∪ ( 1 , ∞ ) e decrescente no intervalo ( - 1,1 ) , então o ponto x = - 1 é máximo local pois f cresce até ele e decresce a partir dele e o ponto x = 1 é mínimo local pois f decresce até ele e cresce depois dele.

Passo 4

Teste da Derivada Segunda:

Se o ponto crítico é x = - 1 e

f ' - 1 = 5 - 1 4 - 5 = 0

f ' ' - 1 = 20 - 1 3 = - 20

Então x = - 1 é máximo local pois f ' - 1 = 0 e f ' ' - 1 < 0 .

Se o ponto crítico é x = 1 e

f ' 1 = 5 1 4 - 5 = 0

f ' ' 1 = 20 1 3 = 20

Então x = 1 é mínimo local pois f ' 1 = 0 e f ' ' 1 > 0 .

Resposta

x = - 1 é máximo local e x = 1 é mínimo local.

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Associe a tabela com um gráfico.
Esboce o gráfico de cada função e determine se a função tem quaisquer valores extremos absolutos no domínio. Explique a consistência de sua resposta com o Teorema 1.
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