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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.18 - Ex. 9

Achar o momento de inércia da barra dos exercícios 1 e 3 para um eixo perpendicular que:

(a)passa pelo extremo direito;

(b)passa pelo extremo esquerdo;

(c) passa no ponto médio da barra.

Passo 1

O momento de inércia I de uma barra homogêna, de seção transversal (espessura) desprezível, é definido pela seguinte expressão:

I = ∫ 0 L r ( x ) 2 ∙ λ ( x ) ∙ d x

Em que L é o comprimento da barra, λ ( x ) é a densidade linear da barra, r ( x ) é a distância da posição do eixo de rotação a um ponto x qualquer ( x ' - x ) , e d m é o infinitésimo da massa M da barra.

Passo 2

(a)Para a barra do exercício 1, no extremo direito, temos L = 12   c m . Assim, r x = ( 12 - x ) . Temos:

I = ∫ 0 12 ( 12 - x ) 2 ∙ ( 5 x + 7 ) ∙ d x

I = ∫ 0 12 ( 5 x 3 - 113 x 2 + 552 x + 1008 ) ∙ d x

I = 5 4 x 4 - 113 3 x 3 + 552 2 x 2 + 1008 x 0 12

∴ I = 12672   k g ∙ c m 2

Passo 3

Para a barra do exercício 3, no extremo direito, temos L = 5   m . Assim, r x = ( 5 - x ) . Temos:

I = ∫ 0 5 [ - 1,2 ∙ 5 - x + 5 ] ∙ ( 5 - x ) 2 ∙ d x

I = ∫ 0 5 ( - 1,2 ∙ 5 - x 3 + 5 ∙ 5 - x 2 ) ∙ d x

I = 1,2 4 ( 5 - x ) 4 - 5 3 ( 5 - x ) 3 0 5

∴ I ≅ 20,8   k g ∙ m 2

Passo 4

(b)Para a barra do exercício 1, no extremo esquerdo, temos L = 0   c m . Assim, r x = ( 0 - x ) . Temos:

I = ∫ 0 12 ( 0 - x ) 2 ∙ ( 5 x + 7 ) ∙ d x

I = ∫ 0 12 x 2 ∙ ( 5 x + 7 ) ∙ d x

I = ∫ 0 12 ( 5 x 3 + 7 x 2 ) ∙ d x

I = 5 4 x 4 + 7 3 x 3 0 12

∴ I = 29952   k g ∙ c m 2

Passo 5

Para a barra do exercício 3, no extremo esquerdo, temos L = 0   m . Assim, r x = ( 0 - x ) . Temos:

I = ∫ 0 5 [ - 1,2 ∙ 5 - x + 5 ] ∙ ( 0 - x ) 2 ∙ d x

I = ∫ 0 5 ( - 6 + 1,2 x + 5 ) ∙ x 2 ) ∙ d x

I = ∫ 0 5 ( - x 2 + 1,2 x 3 ) ∙ d x

I = - 1 3 x 3 + 1,2 4 x 4 0 5

I ≅ 148,8   k g ∙ m 2

Passo 6

(c)Para a barra do exercício 1, no ponto médio, temos L = 6   c m . Assim, r x = ( 6 - x ) . Temos:

I = ∫ 0 12 ( 6 - x ) 2 ∙ ( 5 x + 7 ) ∙ d x

I = ∫ 0 12 ( x 2 - 12 x + 6 ) ∙ ( 5 x + 7 ) ∙ d x

I = ∫ 0 12 ( 5 x 3 - 53 x 2 + 96 x + 252 ) ∙ d x

I = 5 4 x 4 + 53 3 x 3 + 96 2 x 2 + 252 x 0 12

∴ I = 5328   k g ∙ c m 2

Passo 7

Para a barra do exercício 3, no ponto médio, temos L = 2,5   m . Assim, r x = ( 2,5 - x ) . Temos:

I = ∫ 0 5 [ - 1,2 ∙ 5 - x + 5 ] ∙ ( 2,5 - x ) 2 ∙ d x

I = ∫ 0 5 [ 6,25 - 5 x + x 2 1,2 x - 6 + 5 ] ∙ d x

I = ∫ 0 5 1,2 x 3 - 7 x 2 + 12 , 5 x - 6 , 25 ) ∙ d x

I = 1,2 4 x 4 - 7 3 x 3 + 12,5 2 x 2 - 6,25 x 0 5

∴ I ≅ 20,8   k g ∙ m 2

Resposta

(a)Exercício 1: ∴ I = 12672   k g ∙ c m 2

Exercício 3: ∴ I ≅ 20,8   k g ∙ m 2

(b)Exercício 1: ∴ I = 29952   k g ∙ c m 2

Exercício 3: ∴ I ≅ 148,8   k g ∙ m 2

(c)Exercício 1: ∴ I = 5328   k g ∙ c m 2

Exercício 3: ∴ I ≅ 20,8   k g ∙ m 2

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