Cascas cilíndricas Na Seção 6.2, aprendemos como encontrar o volume de um sólido de revolução utilizando o método

das cascas; a saber, se a região entre a curva y = ƒ(x) e o eixo x

entre a e b (0

os volumes utilizando integrais triplas dá o mesmo resultado.

(Sugestão: utilize coordenadas cilíndricas com os papéis de y

e z trocados.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você sabe como encontrar o volume de um sólido de revolução, não é mesmo? Caso não se lembre, vá à Seção 6.2!Esta questão pede para mostrar que usando integrais triplas teremos o mesmo volume se usarmos o método das cascas.

Passo 2

Um sólido de revolução é simétrico em relação ao eixo de revolução, assim, a altura do sólido é função unicamente do parâmetro r . Isso significa que y = f ( x ) = f ( r ) .Usando as coordenadas cilíndricas c o m ⁡ x = r c o s ⁡ θ ,   y = y e z = r s e n ⁡ θ teremos que 0 volume será:

V = ∭ G     r d y d θ d r V = ∫ a b     ∫ 0 2 π     ∫ 0 f ( r )     r d y d θ d r V = ∫ a b     ∫ 0 2 π     [ r y ] 0 f ( r ) d θ d r V = ∫ a b     ∫ 0 2 π     r f ( r ) d θ d r V = ∫ a b     r θ f ( r ) 0 2 π d r V = ∫ a b     2 π r f ( r ) d r

Na integral ∫ a b   2 π f ( r ) d r percebemos que r é apenas uma variável categórica, ou seja, podemos trocar por qualquer nome que quisermos. Assim, trocamos o nome " r " por " x p e teremos:

V = ∫ a b   2 π x f ( x ) d x

Que é o mesmo resultado pelo método da revolução.

Resposta

Portanto, temos como resposta V = ∫ a b   2 π x f ( x ) d x

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