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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 26

Cascas cilíndricas Na Seção 6.2, aprendemos como encontrar o volume de um sólido de revolução utilizando o método

das cascas; a saber, se a região entre a curva y = ƒ(x) e o eixo x

entre a e b (0

os volumes utilizando integrais triplas dá o mesmo resultado.

(Sugestão: utilize coordenadas cilíndricas com os papéis de y

e z trocados.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você sabe como encontrar o volume de um sólido de revolução, não é mesmo? Caso não se lembre, vá à Seção 6.2!Esta questão pede para mostrar que usando integrais triplas teremos o mesmo volume se usarmos o método das cascas.

Passo 2

Um sólido de revolução é simétrico em relação ao eixo de revolução, assim, a altura do sólido é função unicamente do parâmetro r . Isso significa que y = f ( x ) = f ( r ) .Usando as coordenadas cilíndricas c o m ⁡ x = r c o s ⁡ θ ,   y = y e z = r s e n ⁡ θ teremos que 0 volume será:

V = ∭ G     r d y d θ d r V = ∫ a b     ∫ 0 2 π     ∫ 0 f ( r )     r d y d θ d r V = ∫ a b     ∫ 0 2 π     [ r y ] 0 f ( r ) d θ d r V = ∫ a b     ∫ 0 2 π     r f ( r ) d θ d r V = ∫ a b     r θ f ( r ) 0 2 π d r V = ∫ a b     2 π r f ( r ) d r

Na integral ∫ a b   2 π f ( r ) d r percebemos que r é apenas uma variável categórica, ou seja, podemos trocar por qualquer nome que quisermos. Assim, trocamos o nome " r " por " x p e teremos:

V = ∫ a b   2 π x f ( x ) d x

Que é o mesmo resultado pelo método da revolução.

Resposta

Portanto, temos como resposta V = ∫ a b   2 π x f ( x ) d x

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Encontre um limite superior de uma integral iterada Encontre a em: ∫ 0 1   ∫ 0 4 - a - x 2   ∫ a 4 - x 2 - y   d z d y d x = 4 15
Aqui está a região de integração da integral ∫ - 1 1   ∫ x 2 1   ∫ 0 1 - y   d z d y d x . Reescreva a integral como uma integral iterada equivalente na ordem:a. d y d z d x d. d x d z d y b. d y d x
Calcule as integrais nos Exercícios 7-20.int_0^1 int_0^(2 - x) int_0^(2 - x - y) d z d y d x
Calcule as integrais nos Exercícios 41-44 alterando a ordem de integração de maneira apropriada. ∫ 0 1   ∫ z 3 1   ∫ 0 ln ⁡ 3   π e 2 x s e n ⁡ π y 2 y 2 d x d y d z
Calcule as integrais nos Exercícios 7-20. ∫ 0 1   ∫ 1 e   ∫ 1 e   s e s l n ⁡ r ( l n ⁡ t ) 2 t d t d r d s (espaço rst)