Calcule as integrais nos Exercícios 41-44 alterando a ordem de integração de maneira apropriada.

∫ 0 1   ∫ z 3 1   ∫ 0 ln ⁡ 3   π e 2 x s e n ⁡ π y 2 y 2 d x d y d z

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere a integral tripla:

∫ 0 1   ∫ z 3 1   ∫ 0 l n ⁡ 3   π e 2 x s e n ⁡ π y 2 y 2 d x d y d z

Neste primeiro passo não será necessário alterar a ordem de integração para resolve-la de forma mais conveniente.

Passo 2

Sendo assim, podemos integrar em x :

  ∫ 0 1     ∫ z 3 1     s e n ⁡ π y 2 y 2 2 π e 2 x 0 l n ⁡ 3 d y d z   ∫ 0 1     ∫ z 3 1     s e n ⁡ π y 2 y 2 2 π e 2 l n ⁡ 3 - 2 π e 0 d y d z   ∫ 0 1     ∫ z 3 1     4 π s e n ⁡ π y 2 y 2 d y d z

Passo 3

Agora iremos alterar a ordem de integração, sendo assim, teremos:

∫ 0 1   ∫ 0 y 3   4 π s e n ⁡ π y 2 y 2 d z d y

Passo 4

Integrando em z:

  ∫ 0 1     4 π s e n ⁡ π y 2 y 2 z 0 y 3 d y   ∫ 0 1     4 π y s e n ⁡ π y 2 d y

Passo 5

E finalmente integrando em y:

- 2 c o s ⁡ π y 2 0 1 [ - 2 ( - 1 ) + 2 ( 1 ) ]

Resposta

Portanto, chegamos na conclusão de que o valor da integral é 4 .

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