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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 23

Calcule

∭   | x y z | d x d y d z

sobre o elipsoide sólido

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 .

(Sugestão: sejam x = a u , y = b v e z = c w . Então integre sobre uma região apropriada no espaço u v w .)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Estamos na série de exercícios sobre substituições em integrais triplas. Neste caso temos de encontraremos 0 valor de

∭   | x y z | d x d y d z

Sobre o sólido elipsoide

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1

Passo 2

O jacobiano da função é:

J ( u , v , w ) = a 0 0 0 b 0 0 0 c = a b c

Para R e G, como no exercício 22 anterior, temos:

  ∭ R     | x y z | d x d y d z = ∭ G     a 2 b 2 c 2 u v w d w d v d u   ∭ R     | x y z | d x d y d z = 8 a 2 b 2 c 2 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     ( ρ s e n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ ) ( ρ s e n ⁡ ϕ s e n ⁡ θ ) ( ρ c o s ⁡ ϕ ) ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ   ∭ R     | x y z | d x d y d z = 4 a 2 b 2 c 2 3 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 π / 2     s e n ⁡ θ c o s ⁡ θ s e n 3 ⁡ ϕ c o s ⁡ ϕ d ϕ d θ   ∭ R     | x y z | d x d y d z = = a 2 b 2 c 2 3 ∫ 0 π / 2     s e n ⁡ θ c o s ⁡ θ d θ   ∭ R     | x y z | d x d y d z = a 2 b 2 c 2 6

Resposta

Portanto, temos como resposta: ∭ | x y z | d x d y d z = a 2 b 2 c 2 6 .

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