Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.1 - Ex. 30
Case as funções com os desenhos de seus campos de vetor gradiente (rotulados de I-IV). Dê razões para suas escolhas.
Passo 1
Para podermos comparar o campo do vetor gradiente da nossa função com os desenhos (I-IV) do livro, precisamos primeiro determinar quem é este vetor gradiente. Ele é nada mais e nada menos do que um vetor de derivadas parciais. Isto é:
Portanto, precisamos obter as derivadas parciais da nossa função . Desta forma,
Portanto, o gradiente da nossa função é:
Passo 2
Para podermos identificar qual desenho representa o campo vetorial do nosso gradiente, temos duas opções: utilizar um software para plotar e comparar (o jeito fácil), ou tentar fazer considerações no gradiente para identificar o desenho (o jeito difícil).
Como a questão nos pede para dar razões para identificar o desenho, vamos ter de trabalhar com o jeito difícil....
Bom, quando estamos no primeiro quadrante, temos . Com isto, o nosso vetor gradiente vai ter e 0 (vetor aponta para a direita e para baixo).
No quarto quadrante temos e . Por causa disto, tanto a quanto são positivos. Logo, o vetor aponta para direita e para cima. Se continuarmos essa análise para os outros dois quadrantes, vamos confirmar que só existe uma figura que se enquadra com este caso.
Este desenho é o III.
Resposta
O desenho III representa o .