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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 72

Centroide Encontre o centroide da região cortada da esfera

sólida r2 + z2 ≤ 1 pelos semiplanos u = –p/3, r ≥ 0 e u = p/3,

r ≥ 0.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos como calcular o centro de massa de um sólido com densidade constante em coordenadas cartesianas, não é mesmo? Agora vamos aplicar estes conhecimentos para o cálculo da massa e dos primeiros momentos em coordenadas cilíndricas para encontrar o centro de massa.Temos uma região cortada da bola sólida r 2 + z 2 ≤ 1 pelos semiplanos com θ = - π 3 para r ≥ 0 e θ = π 3 para r ≥ 0

Passo 2

Vamos definir os limitantes das integrais? Veja como fazer!O intervalo de r é definido pelo raio da bola:

0 ≤ r ≤ 1

O intervalo de z é definido por r 2 + z 2 ≤ 1 , então:

- 1 + r 2 ≤ z ≤ 1 + r 2

Por fim, temos o ângulo θ com 0 intervalo:

- π 3 ≤ θ ≤ π 3

Passo 3

M = ∫ - π / 3 π / 3   ∫ 0 1   ∫ - 1 - r 2 1 - r 2   d z r d r d θ = ∫ - π / 3 π / 3   ∫ 0 1   2 r 1 - r 2 d r d θ = ∫ - π / 3 π / 3   - 2 3 1 - r 2 3 / 2 0 1 d θ = ∫ - π / 3 π / 3   d θ = 2 3 2 π 3 = 4 π 9

Passo 4

O momento em relação ao plano coordenado:

M y z   = ∫ - π / 3 π / 3     ∫ 0 1     ∫ - 1 - r 2 1 - r 2     r 2 c o s ⁡ θ d z d r d θ   = 2 ∫ - π / 3 π / 3     ∫ 0 1     r 2 1 - r 2 c o s ⁡ θ d r d θ   = 2 ∫ - π / 3 π / 3     1 8 s e n - 1 ⁡ r - 1 8 r 1 - r 2 1 - 2 r 2 0 1 c o s ⁡ θ d θ   = π 8 ∫ - π / 3 π / 3     c o s ⁡ θ d θ   = π 8 ( s e n ⁡ θ ) - π / 3 π / 3   = π 8 2 ⋅ 3 2   = π 3 8

O centroide do sólido ( x ‾ , y ‾ , z ‾ ) está sobre o eixo de simetria, isso faz com que y ‾ = z ‾ = 0 .Para x ‾ , dividiremos o primeiro momento M y x pela massa.

x ‾   = M y z M   = 9 3 32

Resposta

Portanto, nesta questão, temos o ponto 9 3 32 , 0,0 como centro de massa do sólido.

Exercícios de Livros Relacionados

Centro de massa, momento de inercia: encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao eixo x de uma placa retangular fina delimitada pelas retas x = 0 , x = 20, y = - 1 e y = 1 se δ x ,
Encontrando um centroide: encontre um centroide da região do primeiro quadrante delimitado pelo eixo x, a parábola y 2 = 2 x e a reta x + y = 4 .
Centro de massa, momento de inércia: encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação aos eixos coordenados e o momento de inercia polar de uma placa triangular fina delimitada pelas retas
Centroide de uma região infinita: encontre o centroide de uma região infinita no primeiro quadrante delimitada pelos eixos e pela curva y = e x . (Utilize integrais improprias nas formula de massa)
Encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao eixo y de uma placa fina delimitada pela reta y = 1 e a parábola y = x 2 se a densidade for δ x , y = y + 1 .