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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 65

Encontre o valor médio da função ƒ(r, f, u) = r sobre a esfera

sólida r ≤ 1.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos como calcular o valor médio para coordenadas cartesianas. Neste exercício nosso propósito é calcular valores médios de uma função no espaço sobre uma região D em coordenadas esféricas.

Passo 2

Como sabemos a função é descrita por f ( ρ , ϕ , θ ) = ρ sobre a esfera sólida de raio ρ ≤ 1 . Também conhecemos que o valor médio em coordenadas esféricas pode ser descrito por:   Valor médio  = 1  volume de  D ∭ D   f ( ρ , ϕ , θ ) d V

Onde d V = ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ .

Passo 3

Neste passo vamos definir os limitantes da integral. O intervalo de ρ é definido pelo raio da esfera, logo:

0 ≤ ρ ≤ 1

Para? teremos o intervalo:

0 ≤ ϕ ≤ π

Por fim, teremos o ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

A integral que descreve o valor médio de F sobre D é dada por:  Valor médio    = 1 4 π 3 ∫ 0 2 π     ∫ 0 π     ∫ 0 1     ρ 3 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ   = 3 16 π ∫ 0 2 π     ∫ 0 π     s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ   = 3 8 π ∫ 0 2 π     d θ   = 3 4

Resposta

Por fim, concluímos que o valor médio da função F na região D desejada é igual a 2 3 .

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