Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 71
Centroide Encontre o centroide da região delimitada superiormente pela superfície z = 2r, dos lados pelo cilindro r = 4
e inferiormente pelo plano xy
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Nosso objetivo nesta questão é calcular o centro de massa de um sólido em coordenadas cilíndricas. Vamos aplicar os mesmo conceitos e fórmulas utilizados em coordenadas cartesianas. Já sabemos que para calcular o centro de massa precisaremos da massa e dos momentos em relação aos planos coordenados.Temos uma região limitada acima pela superfície e abaixo pelo plano . E sabemos que um cilindro limita os lados do sólido.
Passo 2
Vamos definir os limitantes das integrais? Veja como fazer.O intervalo de é definido pela equação do cilindro:
intervalo de é definido pela superfície , então:
Por fim, temos o ângulo com intervalo:
Passo 3
Qual o próximo passo? Calcular a massa do sólido com densidade igual a 1 em coordenadas esféricas:
Passo 4
Os primeiros momentos em relação aos planos coordenados são:
O centroide do sólido está sobre o eixo de simetria, isso faz com que .Para , dividiremos o primeiro momento pela massa.
Resposta
Portanto teremos o ponto como centro de massa do sólido nesta questão.