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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 43

Encontre os volumes dos sólidos nos Exercícios 43-48.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

As equações que delimitam o sólido são dadas por:

z = 4 - 4 x 2 + y 2  e  z = x 2 + y 2 2 - 1

Vamos resolver este problema em coordenadas cilíndricas.

x = r c o s ⁡ θ y = r s e n ⁡ θ d V = r d z d r d θ

Pela mudança do sistema de coordenadas:

z = 4 - 4 x 2 + y 2 z = 4 - 4 r 2 c o s 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 ⁡ θ z = 4 - 4 r 2 c o s 2 ⁡ θ + s e n 2 ⁡ θ z = 4 - 4 r 2 z = r 2 - 1

Passo 2

Vamos determinar o volume por integração tripla:

V = 4 ∫ 00 π 2     ∫ r 2 - 1 4 - 4 r 2     d z r d r d θ = 4 ∫ 00 π 2     ∫ 0 π 2     r 2 - 1 - - 4 r 2 r d r d θ V = 4 ∫ 0 2     ∫ 0 2     5 r - 4 r 3 - r 5 d r d θ = 4 ∫ 0 π 2     5 r 2 2 - 4 r 4 4 - r 6 6 0 1 d θ V = 4 ∫ 0 π 2     ∫ 0 π 2     5 r - 4 r 3 - r 5 d r d θ = 4 ∫ 0 2     5 2 - 1 - 1 6 d θ V = 4 5 2 - 1 - 1 6 ( θ ) 0 π 2 = 8 π 3

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r 2 + z 2 = 4
Esboce o sólido descrito pelas inequações. 0 ≤ θ ≤ π 2 ,r ≤ z ≤ 2
Esboce o sólido descrito pelas inequações. r 2 ≤ z ≤ 8 - r 2
Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Mude o sistema de coordenadas de retangulares para cilíndricas.