Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 58

Cilindro e planos Encontre o volume da região delimitada

pelo cilindro x2 + y2 = 4 e os planos z = 0 e x + y + z = 4.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que volumes de regiões podem ser encontrados pelo cálculo da integral tripla definidas pelas superfícies delimitantes. Nesta questão vamos encontrar o volume de uma região delimitada por cilindro e planos. O cilindro tem equação x 2 + y 2 = 4 e os planos são definidos pelas equações z = 0 e x + y + z = 4 .

Passo 2

O volume para o sólido em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:

V = ∭ D   f ( r , θ , z ) d V

A primeira integração é feita em relação a z , seguido de θ e por fim em relação a r. Sabemos também que r e θ são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.Com essas informações vamos para os cálculos!

Passo 3

Vamos definir os limitantes. Sabemos que o eixo z é definido pelos planos, que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo.Como o cilindro possui equações x 2 + y 2 = 4 , o raio é dado pelo intervalo:

0 ≤ r ≤ 2

Como z = 0 e x + y + z = 4 , em z teremos:

x = r c o s ⁡ θ y = r s e n ⁡ θ 0 ≤ z ≤ 4 - r c o s ⁡ θ - r s e n ⁡ θ

Por fim, teremos o ângulo θ com 0 intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Então, a integral que representa o volume é escrita da seguinte maneira:

V   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 2     ∫ 0 4 - r c o s ⁡ θ - r s e n ⁡ θ     d z r d r d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 2     4 r - r 2 ( c o s ⁡ θ + s e n ⁡ θ ) d r d θ   = 8 3 ∫ 0 2 π     ( 3 - c o s ⁡ θ - s e n ⁡ θ ) d θ   = 16 π

Resposta

Concluímos que o volume do espaço desejado é 16 π unidades de volume.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ x 2 + y 2 x 2 + y 2 x y z d z d x d y
Estabeleça a integral tripla de uma função contínua arbitrária f x , y , z em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.
Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 / 2 d z d y d x
Utilize as coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E e z d V , onde E está delimitado pelo paraboloide z = 1 + x 2 + y 2 , pelo cilindro x 2 + y 2 = 5 e pelo plano x y .
Calcular ∭_T^() d V , onde T é a região limitada por x^2 + y^2 = 4 e y^2 + z^2 = 4 .