Cilindro e planos Encontre o volume da região delimitada

pelo cilindro x2 + y2 = 4 e os planos z = 0 e x + y + z = 4.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que volumes de regiões podem ser encontrados pelo cálculo da integral tripla definidas pelas superfícies delimitantes. Nesta questão vamos encontrar o volume de uma região delimitada por cilindro e planos. O cilindro tem equação x 2 + y 2 = 4 e os planos são definidos pelas equações z = 0 e x + y + z = 4 .

Passo 2

O volume para o sólido em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:

V = ∭ D   f ( r , θ , z ) d V

A primeira integração é feita em relação a z , seguido de θ e por fim em relação a r. Sabemos também que r e θ são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.Com essas informações vamos para os cálculos!

Passo 3

Vamos definir os limitantes. Sabemos que o eixo z é definido pelos planos, que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo.Como o cilindro possui equações x 2 + y 2 = 4 , o raio é dado pelo intervalo:

0 ≤ r ≤ 2

Como z = 0 e x + y + z = 4 , em z teremos:

x = r c o s ⁡ θ y = r s e n ⁡ θ 0 ≤ z ≤ 4 - r c o s ⁡ θ - r s e n ⁡ θ

Por fim, teremos o ângulo θ com 0 intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Então, a integral que representa o volume é escrita da seguinte maneira:

V   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 2     ∫ 0 4 - r c o s ⁡ θ - r s e n ⁡ θ     d z r d r d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 2     4 r - r 2 ( c o s ⁡ θ + s e n ⁡ θ ) d r d θ   = 8 3 ∫ 0 2 π     ( 3 - c o s ⁡ θ - s e n ⁡ θ ) d θ   = 16 π

Resposta

Concluímos que o volume do espaço desejado é 16 π unidades de volume.

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