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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 17

Se o centróide da região limitada pela parábola y 2 = 4 p x e pela reta x = a estiver no ponto ( p , 0 ) , ache o valor de a .

Passo 1

Como a região é simétrica em relaçao ao eixo x , y - = 0 . Vamos calcular a área da região.

A = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 2 * 2 p 1 2 m i 1 2 ∆ i x = 4 p 1 2 ∫ 0 a x 1 2 d x A = 4 p 1 / 2 2 3 x 3 2 0 a = 8 3 a 3 2 p 1 2

Passo 2

Vamos agora calcular o m y .

m y = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 2 m i * 2 p 1 2 m i 1 2 ∆ i   x = 4 p 1 2 ∫ 0 6 x 3 2 d x m y = 4 p 1 2 [ 2 5 x 5 / 2 ] 0 a = 8 5 a 5 / 2 p 1 / 2

Passo 3

Vamos agora encontrar agora os pontos do centróide.

x - = m y A = 8 5 a 5 / 2 p 1 / 2 8 3 a 3 2 p 1 2 x - = 3 5 a

Passo 4

O centróide está no ponto ( p , 0 ) . Se 3 5 a = p , então:

a = 5 p 3

Resposta

O valor de a é:

a = 5 p 3

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