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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 55a

Um circuito elétrico tem uma força eletromotriz de 10 sen ⁡ 10 t volts em t s e um resistor de 3 ohms, além de um indutor de 1 henry ligado em série. Se a corrente for i ampères em t s e i = 0 , quando t = 0 , encontre:

  1. i quando y = 0,1 s.

Passo 1

A equação de um circuito elétrico, de força eletromotriz V , com um resistor de resistência R e um indutor de indutância L conectados em série é a seguinte:

V = L d i d t + R i

Temos então:

10 sen ⁡ 10 t = d i d t + 3 i

Devemos resolver essa equação diferencial para encontrar i ( t ) .

Passo 2

A equação diferencial é de primeira ordem, pois está na forma

d i d t + P t i = Q ( t )

Com P t = 3 e Q t = 10 sen ⁡ 10 t . O fator integrante será e ∫ P t d t = e ∫ 3 d t = e 3 t . Multiplicando os termos da equação por e 3 t , temos:

e 3 t d i d t + 3 e 3 t i = 10 e 3 t sen ⁡ 10 t

Passo 3

Agora, como sabemos que u v ' = u ' v + u v ' , podemos desenvolver a equação da seguinte forma:

e 3 t d i d t + 3 e 3 t i = e 3 t d i d t + d e 3 t d t = d e 3 t ⋅ i d t = 10 e 3 t sen ⁡ 10 t  

Então podemos integrar:

∫ d ( e 3 t ⋅ i ) = ∫ 10 e 3 t sen ⁡ 10 t d t ⇒ i = 10 e - 3 t ∫ e 3 t sen ⁡ 10 t d t

Passo 4

Para calcular essa integral, usaremos agora uma fórmula muito útil:

∫ e a t sen ⁡ n t = e a t a 2 + n 2 a sen ⁡ n t - n cos ⁡ n t + C

Sendo a = 3 e n = 10 , podemos calcular:

∫ e 3 t sen ⁡ 10 t d t = e 3 t 3 2 + 10 2 3 sen ⁡ 10 t - 10 cos ⁡ 10 t + C

= e 3 t 109 3 sen ⁡ 10 t - 10 cos ⁡ 10 t + C

Então achamos o valor de i em função de t :

i t = 10 e - 3 t ⋅ e 3 t 109 3 sen ⁡ 10 t - 10 cos ⁡ 10 t + C = 10 109 3 sen ⁡ 10 t - 10 cos ⁡ 10 t + C

Do enunciado, i 0 = 0 :

10 109 3 sen ⁡ 0 - 10 cos ⁡ 0 + C = 0 ⇒ C = 100 109 ⇒ i t = 10 109 10 + 3 sen ⁡ 10 t - 10 cos ⁡ 10 t

Passo 5

Agora basta calcularmos i ( 0,1 ) :

i 0,1 = 10 109 10 + 3 sen ⁡ 1 - 10 cos ⁡ 1 = 0,65   A

Resposta

i 0,1 = 0,65   A

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