Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 40
Uma cerca de de altura corre paralela a um edifício alto, a uma distância de do edifício. Qual o comprimento da menor escada que se apoie no chão e na parede do prédio, por cima da cerca?
Passo 1
E aeeee!! Belezinha?? Bom... a questão nos diz que uma cerca de de altura corre paralela a um edifício alto, a uma distância de do edifício.
Com isso, a questão quer que calculemos o comprimento da menor escada que se apoie no chão e na parede do prédio, por cima da cerca.
Mas primeiro, vamos esboçar um desenho para entendermos o que está acontecendo:
Com isso, vamos chamar de o tamanho da hipotenusa do maior triângulo acima.
Dessa forma, o que o exercício quer é a menor hipotenusa possível desse triângulo retângulo formado na figura.
Dessa forma, vamos minimizar esses custos aplicando derivações.
Assim, lembre-se que para descobrirmos pontos de máximo ou mínimo, basta derivarmos uma função e igualar a zero!!
E aí? Bora lá aplicar?? 😉
Passo 2
Assim, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
Para minimizar, a gente precisa que a fórmula dependa de apenas uma variável, então podemos usar semelhança de triângulos para isolar uma delas:
Substituindo em :
Passo 3
Derivando e igualando a para minimizar o comprimento:
A derivada tem solução ou
Como em tem-se no divisor
Ele precisa ser diferente de , e como estamos tratando de comprimento e não existe comprimento negativo, necessariamente precisa ser maior que um, então olha que beleza, só sobrou a segunda raiz pra gente usar!!!
Então, substituindo em :