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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 41

Encontre (d^3 y)/(d x^3) se y = sqrt(3 - 2 x) .

Passo 1

Bom, precisamos derivar a função dada no enunciado três vezes, começando pela primeira:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ( sqrt(3 - 2 x) )

Vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia, derivamos primeiro a função de fora:

(d)/(d t) ( sqrt(t) ) = (1)/(2 sqrt(t))

Então substituímos t pela função de dentro e multiplicamos tudo pela derivada dela:

(d y)/(d x) = (1)/(2 sqrt(3 - 2 x)) (d)/(d x) ( 3 - 2 x )

Resolvendo a derivada que apareceu diretamente, ficamos com:

(d y)/(d x) = - (1)/(sqrt(3 - 2 x))

Passo 2

Agora precisamos derivar a função que acabamos de obter:

(d^2 y)/(d x^2) = (d)/(d x) (- (1)/(sqrt(3 - 2 x)))

Para resolvermos, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente:

(d)/(d x) (- (1)/(sqrt(3 - 2 x))) = - ((d)/(d x) (1) sqrt(3 - 2 x) - 1 (d)/(d x) ( sqrt(3 - 2 x) ))/(3 - 2 x)

A primeira parte zera pela derivada de 1, e a segunda derivada que apareceu nós já resolvemos no Passo 1:

(d)/(d x) (sqrt(3 - 2 x)) = - (1)/(sqrt(3 - 2 x))

Ficaremos com:

(d^2 y)/(d x^2) = - (1)/((3 - 2 x) sqrt(3 - 2 x)) = - (1)/((3 - 2 x)^((3)/(2)))

Passo 3

E por final vamos derivar a função que calculamos no Passo 2:

(d^3 y)/(d x^3) = (d)/(d x) [- (1)/((3 - 2 x)^((3)/(2)))]

Aplicando novamente a Regra do Quociente:

(d)/(d x) [- (1)/((3 - 2 x)^((3)/(2)))] = - ((d)/(d x) (1) (3 - 2 x)^((3)/(2)) - 1 (d)/(d x) [(3 - 2 x)^((3)/(2))])/((3 - 2 x)^3)

O primeiro termo some novamente pela derivada de 1, e o segundo termo precisa que a gente aplique a Regra da Cadeia:

(d)/(d x) [(3 - 2 x)^((3)/(2))] = (3)/(2) (3 - 2 x)^((1)/(2)) (d)/(d x) ( 3 - 2 x )

E isso será:

(d)/(d x) [(3 - 2 x)^((3)/(2))] = - 3 (3 - 2 x)^((1)/(2))

Substituindo na Regra do Quociente:

(d)/(d x) [- (1)/((3 - 2 x)^((3)/(2)))] = - (3 (3 - 2 x)^((1)/(2)))/((3 - 2 x)^3) = - 3 ( 3 - 2 x )^((1)/(2) - (6)/(2)) = - 3 ( 3 - 2 x )^(- (5)/(2))

(d^3 y)/(d x^3) = - 3 ( 3 - 2 x )^(- (5)/(2))

(d^3 y)/(d x^3) = - (3)/(( 3 - 2 x )^((5)/(2)))

Resposta

(d^3 y)/(d x^3) = - (3)/(( 3 - 2 x )^((5)/(2)))

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