Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 22

Em cerca de quanto

h x , y , z = cos ⁡ ( π x y ) + x z 2

irá variar se o ponto P(x, y, z) se mover de P0 (-1,-1,-1) a uma distância de ds = 0,1 unidade na direção da origem?

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Temos que a distância pode ser dada através do vetor gradiente direcional, através do gradiente da nossa função. Ele é dado por:

∇ f = δ f δ x i + δ f δ y j + δ f δ z j

Dessa forma, para a nossa função, temos:

∇ f = - π y sin ⁡ π x y + z 2 i - π x sin ⁡ π x y j + 2 x z k

Passo 2

Com a nossa função gradiente existente, podemos aplicar o ponto que a questão nos entrega:

∇ f - 1 , - 1 , - 1 = π sin ⁡ π + 1 i + ( π - s e n   π ) j + 2 k

= i + 2 k

Para a distancia do ponto P0, na direção de P1:

v = P 0 P 1 = i + j + k

Dessa forma,

u = v v = i + j + k 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 3 i + 1 3 j + 1 3 k

Calculando a variação após a distância:

3 3 = ∇ g ⋅ u = 3

d h = ∇ h ⋅ u ) d s = √ 3 ⋅ 0.1 = 0.1732

Resposta

d h = 0.1732

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f x , y = 2 x 2 + 5 y 2 . Representar geometricamente ∇ f x 0 , y 0 , sendo x 0 ,y 0 dado por (1,1)
Nos exercícios 18 a 24, representar geometricamente o campo gradiente definido pela função dada: u x , y = 1 2 x 2 + y 2
Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:c) x 2 + y 2 = 8 ; P 2 ,2
Provar as propriedades (a), (b) e (d) da Subseção 6.4.3.
Seja f x , y = 2 x 2 + 5 y 2 . Representar geometricamente ∇ f x 0 , y 0 , sendo x 0 ,y 0 dado por c) 1 2 ,3