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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 27

Provar as propriedades (a), (b) e (d) da Subseção 6.4.3.

Passo 1

Voltando lá na Subseção, temos o seguinte:

Sejam f e g funções escalares tais que existam g r a d   f e g r a d g e seja c uma constante. Então:

g r a d c f = c   g r a d f

Para provar essa propriedade vamos considerar f = f x , y , z . Assim,

g r a d c f = ∂ ∂ x c f   i → + ∂ ∂ y c f   j → + ∂ ∂ z c f   k →

Como c é uma constante, então podemos jogar ele para fora. Logo,

g r a d c f = c ∂ ∂ x f   i → + c ∂ ∂ y f   j → + c ∂ ∂ z f   k →

Opa, mas podemos colocar o c em evidencia!

g r a d c f = c ∂ ∂ x f   i → + ∂ ∂ y f   j → + ∂ ∂ z f   k →

Agora repare que o termo dentro dos parênteses é exatamente g r a d f . Portanto,

g r a d c f = c   g r a d f

Passo 2

A outra propriedade que ele nos mostra é a seguinte:

g r a d f + g = g r a d f + g r a d g

Para provar essa propriedade vamos considerar f = f x , y , z e g = g x , y , z . Assim,

g r a d f + g =   ∂ ∂ x f + g   i → + ∂ ∂ y f + g   j → + ∂ ∂ z f + g   k →

isto é,

g r a d f + g =   ∂ ∂ x f   i → + ∂ ∂ x g   i → + ∂ ∂ y f   j → + ∂ ∂ y g   j → + ∂ ∂ z f   k → + ∂ ∂ z g   k →

Repare que podemos juntar os termos da seguinte forma:

g r a d f + g =   ∂ ∂ x f   i → + ∂ ∂ y f   j → + ∂ ∂ z f   k → + ∂ ∂ x g   i → + ∂ ∂ y g   j → + ∂ ∂ z g   k →

Agora temos g r a d   f e g r a d   g dentro colchetes. Portanto,

g r a d f + g = g r a d f + g r a d g

Passo 3

Para finalizar vamos provar a seguinte propriedade:

g r a d f g = g   g r a d f - f   g r a d g g 2

Para provar essa propriedade vamos considerar f = f x , y , z e g = g x , y , z . logo,

g r a d f g = ∂ f g ∂ x i → + ∂ f g ∂ y j → + ∂ f g ∂ z k →

Agora temos que lembrar da seguinte propriedade:

∂ f g ∂ x = g   ∂ f ∂ x - f   ∂ g ∂ x g 2  

O mesmo vale se para ∂ y e ∂ z . Usando isso na expressão de g r a d f g :

g r a d f g = g   ∂ f ∂ x - f   ∂ g ∂ x g 2 i → + g   ∂ f ∂ y - f   ∂ g ∂ y g 2 j → + g   ∂ f ∂ y - f   ∂ g ∂ y g 2 k →

Juntando os termos que são acompanhados por g :

g r a d f g = g   ∂ f ∂ x i → +   ∂ f ∂ y j → +   ∂ f ∂ z k → g 2 - f   ∂ g ∂ x i → +   ∂ g ∂ y j → +   ∂ g ∂ z k → g 2

Opa, mas os numeradores são g r a d f e g r a d g . Assim,

g r a d f g = g   g r a d f g 2 - f   g r a d g g 2

Deixando tudo no mesmo denominador:

g r a d f g = g   g r a d f - f   g r a d g g 2

Portanto, provamos a propriedade que ele nos pede 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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