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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 20

Nos exercícios 18 a 24, representar geometricamente o campo gradiente definido pela função dada:

u x , y = 1 2 x 2 + y 2

Passo 1

A ideia nesse exercício será encontrar o campo gradiente da função que ele nos deu usando aquela formula lá da teoria. E em seguida, representar geometricamente esse campo. Para encontrarmos o campo, fazemos o assim:

g r a d   u = ∂ u ∂ x i → + ∂ u ∂ y j →

A expressão para u x , y é a seguinte:

u x , y = 1 2 x 2 + y 2

Repare que podemos escrever isso do seguinte jeito:

u x , y = 1 2 x 2 + y 2 - 1 2

Passo 2

Agora vamos calcular o gradiente!

g r a d   u = ∂ 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 ∂ x i → + ∂ 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 ∂ y j →

tomando cuidado com a regra da cadeia:

g r a d   u = 1 2 × - 1 2 × 2 x × x 2 + y 2 - 3 2 i → + 1 2 × - 1 2 × 2 y × x 2 + y 2 - 3 2 j →

simplificando as coisas:

g r a d   u = - x x 2 + y 2 - 3 2 2 i → + - y x 2 + y 2 - 3 2 2 j →

Usando um software de matemática, vemos que a representação geométrica para o g r a d   u será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Enunciado
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