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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 23

Variação de temperatura ao longo de uma circunferência Suponha que a temperatura em Celsius no ponto (x, y) no plano xy seja T(x, y) = x sen 2y e a distância no plano xy seja mensurada em metros. Uma partícula está se movendo em sentido horário ao redor de uma circunferência de raio de 1 m centrada na origem na taxa constante de 2 m/s.

a. Qual é a velocidade da variação de temperatura apresentada pela partícula, em graus Celsius por metro, no ponto PA1>2, 23>2B?

b. Qual é a velocidade da variação de temperatura apresentada pela partícula em graus Celsius por segundo em P?

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Para acharmos a velocidade da variação de temperatura apresentada pela partícula, no ponto:

P 1 2 , 3 2

Temos que seu vetor unitário está na direção de:

u = 3 2 i - 1 2 j

Dessa forma, calcularemos a variação de temperatura representado por ∇ T na direção de u . Calculando ∇ T :

∇ T = sin ⁡ 2 y i + cos ⁡ 2 t j

Aplicando então essa variação de temperatura no ponto:

P 1 2 , 3 2

Temos:

∇ T 1 2 , 3 2 = sin ⁡ 3 i + cos ⁡ 3 j

D u T 1 2 , 3 2 = ∇ T ⋅ u

Ou seja:

∇ T ⋅ u = 3 2 sin ⁡ 3 - 1 2 cos ⁡ 3 ⋅ 2 = 0.935   ° C / f t

Passo 2

Para o item b),

∇ T 1 2 , 3 2 = sin ⁡ 3 i + cos ⁡ 3 j

D u T 1 2 , 3 2 = ∇ T ⋅ u

Ou seja:

∇ T ⋅ u = 3 2 sin ⁡ 3 - 1 2 cos ⁡ 3 ⋅ 2 = 0.935   ° C / f t

Resposta

a ) ∇ T ⋅ u = 0.935   ° C / f t

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Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:a) 2 x + 5 y + 3 z = 10 ; P 1,2 , - 2 3
Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:c) 2 z = x 2 + y 2 ; P 1,1 , 1
Traçar as curvas de nível de f x , y = 1 2 x 2 + 1 2 y 2 que passem pelos pontos 1,1 , 1 , - 2 e - 2 , - 1 . Traçar os vetores ∇ f 1,1 , ∇ f 1 , - 2 e∇ f - 2 , - 1 .
Determinar o vetor gradiente das seguintes funções:b) z = 2 x 2 + y 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:j) f x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 = x 1 x 2 - x 1 x 3 + x 4 ; P 2 ,2 ,1 ,3