Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 88
Uma função ƒ(x, y) com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região aberta R deve ser contínua em R? Justifique sua resposta.
Passo 1
Lembre-se da condição que afirma quando podemos dizer algo sobre a diferenciabilidade da função observando suas derivadas parciais.
Passo 2
A função f é diferenciável em todos os pontos da região R se todas as suas derivadas parciais de primeira ordem existem em todos os pontos de R e todas as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos de R.
No entanto, sabemos que a diferenciabilidade é uma propriedade mais forte do que a continuidade, portanto, se a função é diferenciável em alguma região R, ela também é contínua em toda a região.
Passo 3
Observe que em nossa tarefa este é exatamente o caso, sabemos que todas as derivadas parciais são contínuas, portanto, a função também deve ser contínua.
Resposta
Sim.