Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.18 - Ex. 32
32. Uma chapa é limitada pela curva e a reta , no plano , com o eixo dos apontando para cima e suas escalas medidas em metros. A chapa está submersa em óleo, cujo peso , com a reta sobre a superfície do óleo. Qual é a força do óleo em cada lado da chapa?
Passo 1
Para essas questão, usaremos a fórmula seguinte:
Em que é a função que limita a comporta a esquerda e é a função que limita a comporta à direita.
limita a comporta por baixo!
limita a comporta por cima!
é o peso por unidade de volume
é o nível do líquido.
Passo 2
Vamos desenhar o “gráfico” dessa chapa, e assim conseguiremos tirar as informações que estão nessa integral, com origem na origem do plano cartesiano.
Essa curva tracejada é a função .
.
A comporta está em vermelho, é delimitada em baixo pelos pontos , pois a função parte da origem.
Em cima é delimitada pela reta ! Agora, meu caro gafanhoto, podemos descobrir o e .
Então,
A comporta é delimitada à esquerda pela função
À direita a chapa é limitada por uma função bem parecida, só muda o sinal!
Agora, vamos isolar as nossas funções! É o passo mais fácil!
Para finalizar nossa análise, apenas temos que ver o nível da água, em azul. Ora, o nível de água é o mesmo da altura da comporta segundo o enunciado.
Passo 3
Substituindo tudo na integral e sabendo que o peso da água por metro cúbico é .
b
Focando só na integral, temos: