Em uma cidade com pessoas, a taxa de crescimento de uma epidemia de gripe é conjuntamente proporcional ao número de pessoas tiveram a gripe e ao número de pessoas que não a contraíram. Cinco dias atrás pessoas estavam com gripe e hoje pessoas já foram contagiadas.

(a) Qual o número de pessoas com gripe amanhã?

(b) Em quantos dias a epidemia estará se alastrando o mais rápido possível? Isto é, quando é que metade da população será contagiada?

Integrando em ambos os lados, temos que

Note que a integral em é feita usando frações parciais:

Assim, e . Portanto,

Desta forma,

Logo,

Assim, temos que

Portanto, passando o fator multiplicando

Note que .

Aplicando a exponencial dos dois lados:

Chamando temos que

O próximo passo é determinar o valor das constantes e . Para isso vamos usar duas informações do enunciado. A primeira é “cinco dias atrás pessoas estavam com gripe”. Assim, para , temos que :

Portanto,

A segunda informação dada é “hoje pessoas já foram contagiadas”. Assim, para , temos que :

Assim, substituindo na primeira equação:

Tomando o dos dois lados:

Portanto,

Desta forma, temos que

No item (a) queremos o número de pessoas infectadas amanhã, isto é, em . Assim,

Logo,

Calculando :

Assim,

Portanto, o número de pessoas contaminadas amanhã será de aproximadamente pessoas.

No item (b) queremos saber em quando ocorre a taxa de crescimento máxima. A taxa de crescimento é dada por

Ela será máxima para pois

é uma função do segundo grau cujo máximo ocorre em já que

Assim, queremos saber o valor de tal que . Substituindo isso na função encontrada:

Logo,

Aplicando nos dois lados:

Desta forma, temos que a taxa de crescimento é máxima para