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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 100

Ache o comprimento do arco da curva y = ln x de x = 1 a x = e .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva y = ln x entre x = 1 e x = e . Para resolver esse problema, você precisa lembrar a fórmula do comprimento de arco:

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

Assim, para y = ln x , temos que

y^' = (1)/(x) => sqrt(1 + (y^')^2) = sqrt(1 + (1)/(x^2)) = sqrt((1 + x^2)/(x^2)) = (sqrt(1 + x^2))/(x)

Portanto,

L = int_1^e (sqrt(1 + x^2))/(x) d x

Passo 2

Para calcular essa integral, vamos escrever:

L = int_1^e (sqrt(1 + x^2))/(x) d x = int_1^e (sqrt(1 + x^2))/(x^2) x d x

Vamos fazer a substituição t = sqrt(1 + x^2) . Assim, x^2 + 1 = t^2 => x^2 = t^2 - 1 . Além disso,

2 x d x = 2 t d t => x d x = t d t

Portanto,

L = int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (t^2)/(t^2 - 1) d t

Por outro lado, note que

t^2 = t^2 - 1 + 1 => (t^2)/(t^2 - 1) = 1 + (1)/(t^2 - 1)

Assim,

L = int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (1 + (1)/(t^2 - 1)) d t = sqrt(1 + e^2) - sqrt(2) + int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (1)/(t^2 - 1) d t

Passo 3

Vamos chamar

I = int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (1)/(t^2 - 1) d t

Assim, L = sqrt(1 + e^2) - sqrt(2) + I . Para calcular I , vamos usar frações parciais:

(1)/(t^2 - 1) = (1)/(( t + 1 ) ( t - 1 )) = (1)/(2) ((1)/(t - 1) - (1)/(t + 1))

Assim,

I = ((1)/(2) (ln |t - 1| - ln |t + 1|))_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) = (1)/(2) (ln |(t - 1)/(t + 1)|)_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2))

Portanto,

I = (1)/(2) (ln ((sqrt(1 + e^2) - 1)/(sqrt(1 + e^2) + 1)) - ln ((sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + 1)))

Assim,

L = sqrt(1 + e^2) - sqrt(2) + (1)/(2) (ln ((sqrt(1 + e^2) - 1)/(sqrt(1 + e^2) + 1)) - ln ((sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + 1)))

Este é comprimento da curva!

Resposta

sqrt(1 + e^2) - sqrt(2) + (1)/(2) (ln ((sqrt(1 + e^2) - 1)/(sqrt(1 + e^2) + 1)) - ln ((sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + 1)))

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