Um cilindro circular reto é inscrito em um cone com altura e raio da base . Encontre o maior volume possível para este cilindro.

Para o volume de um cilindro temos a seguinte fórmula:

Mas observe a figura e perceba que a altura do cilindro é , e que o raio pode ser escrito como . Assim, temos:

Aplicando a propriedade distributiva nesse produto:

Na Figura, temos um caso de semelhança de triângulos!

Podemos comparar o raio do cone com o raio do cilindro, e a altura do cone com a altura formada pelo triângulo retângulo menor.

Primeiro, usamos a semelhança para isolarmos uma das variáveis.

Como

então

Substituindo a variável isolada na expressão do volume

temos que

Precisamos calcular a derivada da função

para encontrar os seus pontos críticos. Para isso, vamos usar a Regra da Potência em cada um dos seus termos. Relembrando a Regra da Potência:

Agora, calculando a derivada de em relação a :

Igualando essa expressão a zero:

Isolando o termo :

Assim, pra que esse produto seja verdadeiro, devemos ter:

ou

Mas pensa só, o raio não pode ser zero, né? Então não é uma boa solução. Usando a outra opção, vamos ter:

Simplificando temos

e isolando :

Assim, temos dois pontos críticos, mas pra temos , então o ponto máximo deverá ser .

Por fim, vamos encontrar o volume máximo para a função

Para isso, só precisamos substituir o encontrado no Passo 4 na equação do volume. Assim:

então

Dessa forma:

Prontinho, galera!

Até a próxima! 😉