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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 55

Cilindro e cones Encontre o volume do sólido cortado do

cilindro espesso 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2 pelos cones z = ; 2x2 + y 2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Temos uma região definida D fechada e limitada no espaço com um cilindro espesso de equação 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 . Vamos encontrar o volume deste cilindro quando ele é cortado pelos cones de equação z = ± x 2 + y 2 .

Passo 2

Como já sabemos o volume para o sólido em coordenadas cilíndricas é dado pela integral:

V = ∭ D   f ( r , θ , z ) d V

Precisamos primeiro integrar em relação a z , seguido de θ e por fim em relação a r .

Passo 3

Sabemos também que r e θ são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.

Agora podemos definir os limitantes. Sabemos que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo.Em r teremos:

1 ≤ r ≤ 2

Como r 2 = x 2 + y 2 , em z teremos:

0 ≤ z ≤ r

Por fim:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Dessa maneira, podemos calcular o volume do cilindro em questão:

V   = 8 ∫ 0 π / 2     ∫ 1 2     ∫ 0 r     d z r d r d θ   = 8 ∫ 0 π / 2     ∫ 1 2     r 2 d r d θ   = 8 2 2 - 1 3 ∫ 0 π / 2     d θ   = 4 π ( 2 2 - 1 ) 3

Resposta

Portanto, o volume do cilindro espesso cordado por dois cones é 4 π ( 2 2 - 1 ) 3 unidades de volume.

Exercícios de Livros Relacionados

Use coordenadas cilíndricas.Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide z = x 2 + y 2 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 .
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , 3 π / 4,2 ) ( 1,1 , 1 )
Utilize coordenadas cilíndricasCalcule ∭ E x + y + z d V , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 .
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 4 , π / 3 , - 2 ) ( 2 , - π / 2,1 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 4 , π / 3 , - 2 ) ( 2 , - π / 2,1 )