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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 35

O sólido delimitado pela cardioide de revolução r = 1 – cos f.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício faremos:a. Encontraremos os limites em coordenadas esféricas para a integral que estima o volume do sólido dado, eb. Resolveremos a integral.O sólido delimitado pelo cardióide de revolução ρ = 1 - c o s ⁡ ϕ .

Passo 2

a. O volume referente ao sólido pedido é:

V = ∫ 0 2 e   ∫ 0 π   ∫ 1 1 - c o s ⁡ ϕ   ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 3

b. Resolveremos então a integral para encontrarmos o volume do sólido:

V = ∫ 0 2 π     ∫ 0 π     ∫ 1 1 - c o s ⁡ ϕ     ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ V = 1 3 ∫ 0 2 π     ∫ 0 π     ( 1 - c o s ⁡ ϕ ) 3 s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ V = 1 3 ∫ 0 2 π     ( 1 - c o s ⁡ ϕ ) 4 4 0 π d θ V = 1 12 ( 2 ) 4 ∫ 0 2 π     d θ V = 4 3 ( 2 π ) V = 8 π 3

Resposta

Resposta: o volume é V = 8 π 3 .

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