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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 66

Encontre o valor médio da função ƒ(r, f, u) = r cos f sobre a

semiesfera sólida r ≤ 1, 0 ≤ f ≤ p/2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos como calcular o valor médio para coordenadas cartesianas. Neste exercício vamos utilizar estes conhecimentos para encontrar valores médios de uma função no espaço sobre uma região D em coordenadas esféricas.

Passo 2

Sabemos que a função é descrita por f ( ρ , ϕ , θ ) = ρ c o s ⁡ ϕ sobre a semiesfera sólida de raio ρ ≤ 1 com um intervalo 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 . Também conhecemos que o valor médio em coordenadas esféricas pode ser descrito por:Valor médio = 1  volume de  D ∭ D   f ( ρ , ϕ , θ ) d V Onde d V = ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 3

Neste passo vamos definir os limitantes da integral. Acompanhe! O intervalo de ρ é definido pelo raio da esfera, logo: 0 ≤ ρ ≤ 1 Para? teremos o intervalo:

0 ≤ ϕ ≤ π / 2

Por fim, teremos o ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ ϕ ≤ π / 2

Por fim, teremos 0 ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

A integral que descreve o valor médio de F sobre D é dada por:  Valor médio    = 1 2 π 3 ∫ 0 2 π     ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     ρ 3 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ   = 3 8 π ∫ 0 2 π     ∫ 0 π / 2     c o s ⁡ ϕ s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ   = 3 8 π ∫ 0 2 x     s e n 2 ⁡ ϕ 2 0 π / 2 d θ

Passo 5

Resolvendo a última integral:  Valor médio    = 3 16 π ∫ 0 2 π     d θ   = 3 16 π ( 2 π )   = 3 8

Resposta

Dessa forma, o valor médio da região desejada neste exercício é igual a 3 8 .

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