Um cinema cobra $10,00 por pessoa e está vendendo aproximadamente 500 ingressos em uma noite típica de semana. Depois de pesquisar seus clientes, o cinema estima que, para cada 50 centavos de desconto, o número de frequentadores aumenta 50 por noite. Calcule a função demanda e o excedente do consumidor quando as entradas são vendidas a $ 8,00.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema?!

Temos a seguinte situação:

- O ingresso de um cinema é R $ 10 e em média 500 ingressos são vendidos por dia.

-Estima-se que para cada R $ 0,50 de desconto tem um aumento de 50   clientes por noite.

Precisamos calcular a função demanda e o excedente do consumidor considerando que o preço dos ingressos baixou para R $   8,00 .

Beleza, antes vamos entender algumas coisinhas!

A função demanda p ( x ) é o preço que deve ser cobrado para a venda de x unidades de um produto ou serviço. Se X é a quantidade de produto, então P = p ( X ) é o preço de venda!

O excedente do consumidor representa a quantidade de dinheiro que os consumidores economizam ao comprar um produto pelo preço P . Esse valor pode ser calculado por:

∫ 0 X p x - P   d x

Passo 2

A primeira coisa que vamos fazer é achar nossa função demanda. Do enunciado podemos tirar que:

p 500 = 10

Além disso pra cada 0,50   de desconto a partir desse valor, temos 50 vendas a mais, então podemos concluir que a função demanda p ( x ) é uma função linear decrescente com:

m = - 0,50 50 = - 1 100

Temos então:

p x = - 1 100 x + b

p 500 = - 1 100 500 + b = 10

b = 15

Portanto:

p x = - 1 100 x + 15

Passo 3

Quando as entradas são vendidas a $8,00, temos que

8 = - 1 100 x + 15

1 100 x = 7

x = 700

Ou seja, 700 ingressos são vendidos.

∫ 0 X p x - P   d x

∫ 0 700 - 1 100 x + 15 - 8   d x

Esse é o nosso consumo excedente. Integrando:

C o n s u m o   e x c e d e n t e = - 1 100 x 2 2   + 7 x 0 700

C o n s u m o   e x c e d e n t e = [ - 1 100 700 2 2   + 7 × 700 - - 1 100 0 2 2   + 7 × 0 ]

C o n s u m o   e x c e d e n t e = [ - 1 100 700 2 2   + 7 × 700 - 0 ]

C o n s u m o   e x c e d e n t e = $ 2450

Prontinho!

Resposta

Função Demanda: p = - 1 100 x + 15 ;   C o n s u m o   e x c e d e n t e = $ 2450 .

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