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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 33

Num circuito elétrico, a força eletromotriz é x volts em t s, onde E = 20 cos ⁡ 120 π t . (a) Resolva a equação em t . Use a equação da parte a) para achar o menor valor positivo de t para o qual a força eletromotriz é (b) 10 volts; (c) 5 volts; (d) - 10 volts; (e) - 5 volts.

Passo 1

  1. Resolver a equação em t , significa deixar o t , isolado. Faremos isso assim:

    2. E = 20 cos ⁡ ( 120 π t )

    E 20 = cos ⁡ 120 π t

    Aqui pensamos o seguinte: 120   π t é o arco cujo cosseno é E 20 . Então, podemos escrever isso da seguinte forma para pegar todas soluções:

    120 π t = 2 π k + cos - 1 ⁡ E 20 ou 120 π t = 2 π n - cos - 1 ⁡ E 20 com k , n ∈ Z .

    Lembrando que somamos 2 π k , para pegar todas soluções e que - cos - 1 ⁡ E 20 também é um arco cujo cosseno é E 20 , pois cos ⁡ x = cos ⁡ - x .

    Resolvendo em t , ficamos com:

    t = 2 π k 120 π + 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20 = k 60 + 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20

    t = k 60 + 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20

    com k ∈ Z . Ou:

    t = 2 π n 120 π - 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20 = n 60 - 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20

    t = n 60 - 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20

    com n ∈ Z .

    Passo 2

  2. Achar o menor valor positivo de t para o qual a força eletromotriz é E = 10 volts.

    3. Utilizando e analisando as equações, temos:

    t = k 60 + 1 120 π cos - 1 ⁡ 10 20 = k 60 + 1 120 π cos - 1 ⁡ 1 2 = k 60 + π 3 120 π = k 60 + 1 360

    Para k = - 1 , temos t = - 1 72 .

    Para k = 0 , temos t = 1 360 ≈ 0,003 .

    Para k = 1 , temos t = 7 360 ≈ 0 , 194 .

    ou:

    t = n 60 - 1 120 π cos - 1 ⁡ 10 20 = n 60 - π 3 120 π = n 60 - 1 360

    Para n = - 1 , temos t < 0 .

    Para n = 0 , temos t < 0 .

    Para n = 1 , temos t = 1 72 ≈ 0.0138 .

    O menor valor positivo ocorre quando k = 0 na primeira equação. Ou seja, o menor valor é t = 1 360 . Em todos os casos, o menor valor positivo ocorrerá quando o k = 0 na primeira equação, que é a que temos + 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20 . Então podemos a partir de agora usar diretamente essa equação como sendo a do menor valor positivo de t .

    Passo 3

  3. Achar o menor valor positivo de t para o qual a força eletromotriz é E = 5 volts.

    4. Utilizando a equação do menor valor positivo, temos:

    t = 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20 = 1 120 π cos - 1 ⁡ 5 20 = 1 120 π cos - 1 ⁡ 1 4 ≈ 0.0035

    t ≈ 0.0035

    Aqui só conseguimos aproximar usando uma calculadora mesmo.

    Passo 4

  4. Achar o menor valor positivo de t para o qual a força eletromotriz é E = - 10 volts.

    5. Utilizando a equação do menor valor positivo, temos:

    t = 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20 = 1 120 π cos - 1 ⁡ - 10 20 = 1 120 π cos - 1 ⁡ - 1 2 = 2 π 3 120 π = 2 3 ⋅ 120 = 1 180

    t = 1 180

    Lembrando que cos - 1 ⁡ - 1 2 = 2 π 3 .

    Passo 5

  5. Achar o menor valor positivo de t para o qual a força eletromotriz é E = - 5 volts.

Utilizando a equação do menor valor positivo, temos:

t = 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20 = 1 120 π cos - 1 ⁡ - 5 20 = 1 120 π cos - 1 ⁡ - 5 20 = 1 120 π cos - 1 ⁡ - 1 4 ≈ 0.0048

t ≈ 0.0048

Aqui só conseguimos aproximar usando uma calculadora mesmo.

Resposta

  1. t = k 60 + 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20 e t = n 60 - 1 120 π cos - 1 ⁡ E 20 com k , n ∈ Z .
  2. 1 360
  3. 1 120 π cos - 1 ⁡ 1 4 ≈ 0.0035
  4. 1 180
  5. 1 120 π cos - 1 ⁡ - 1 4 ≈ 0.0048
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