Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 37
Ache a área da região limitada pela curva:
pelos eixos coordenados e pela reta .
Passo 1
Primeiro passo é identificar que área é essa, né? Mas desenhar o gráfico dessa função é complicado e, na verdade, nem precisamos, pois essa é uma função positiva, pessoal. Nesse caso, ao calcular a integral em certo intervalo, o resultado é justamente a área!
Mas qual seria o nosso intervalo? O problema disse que a área é limitada pela curva e pelos eixos coordenados, ou seja, as retas , e e também disse a reta .
Daqui nos já descobrimos o intervalo de integração, é do ao . Vamos confirmar com a imagem abaixo:
Passo 2
A área de acordo com os dados anteriores é dada pela integral:
Antes de resolver, precisamos manipular um pouco a integral para tentar deixar o denominador igual , ok? Vou deixar o em evidência então.
Agora está bacana.
Passo 3
Faremos então e derivando, temos .
Para ficar melhor, vamos deixar o sozinho para trocar a variável da integral.
Sendo assim, .
Passo 4
Trocando a variável da integral, ficamos com:
Por que os limites de integração viraram e ? É porque os limites anteriores são da integral na variável , então eu não posso repetir! Vamos achar o e usando a tabela:
Sendo assim, a integral será uma integral definida que tem primitiva imediata.
Passo 5
Sabemos da integral definida que:
Em que é uma primitiva de .
E temos .
Dessa forma,
Logo, a área é:
significa é unidades de área.