Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 12

Calcule a integral indefinida:

int x^2 sen 3 x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e exponencial) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

[[d,v,=,sen 3 x,d,x,v,=,,?],[u,=,x^2,d,u,=,,?]]

Aqui nos podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,sen 3 x,d,x,v,=,int sen 3 x d x =,-,(cos 3 x)/(3),+,C],[u,=,x^2,d,u,=,,2,x,d,x]]

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace x^2) underset(d v)(ubrace sen 3 x d x) = underset(u)(ubrace x^2) underset(v)(ubrace (- (cos 3 x)/(3))) - int underset(v)(ubrace - (cos 3 x)/(3)) underset(d u)(ubrace 2 x d x)

int x^2 sen 3 x d x = - (x^2 cos 3 x)/(3) + (2)/(3) int x cos 3 x d x

A integral que apareceu também é resolvida por partes, então vamos aplicar a fórmula nela.

Passo 4

Faremos agora com int x cos 3 x d x . Escolhendo u = x .

[[d,v,=,cos 3 x,d,x,v,=,int cos 3 x d x,=,(sen 3 x)/(3),+,C],[u,=,x,d,u,=,1,d,x]]

Aplicando na fórmula de novo:

int underset(u)(ubrace (x)) underset(d v)(ubrace cos 3 x d x) = underset(u)(ubrace (x)) underset(v)(ubrace ((sen 3 x)/(3))) - int underset(v)(ubrace (sen 3 x)/(3)) underset(d u)(ubrace 1 d x)

int x cos 3 x d x = (x sen 3 x)/(3) - (1)/(3) int sen 3 x d x

int x cos 3 x d x = (x sen 3 x)/(3) - (1)/(3) (- (cos 3 x)/(3)) + C

int x cos 3 x d x = (x sen 3 x)/(3) + (cos 3 x)/(9) + C

int x cos 3 x d x = (3 x sen 3 x + cos 3 x)/(9) + C

Pronto.

Passo 5

Agora vamos substituir na integral inicial:

int x^2 sen 3 x d x = - (x^2 cos 3 x)/(3) + (2)/(3) int x cos 3 x d x

int x^2 sen 3 x d x = - (x^2 cos 3 x)/(3) + (2)/(3) ((3 x sen 3 x + cos 3 x)/(9)) + C

int x^2 sen 3 x d x = - (x^2 cos 3 x)/(3) + (6 x sen 3 x + 2 cos 3 x)/(27) + C

int x^2 sen 3 x d x = (- 9 x^2 cos 3 x + 6 x sen 3 x + 2 cos 3 x)/(27) + C

int x^2 sen 3 x d x = (cos 3 x (2 - 9 x^2) + 6 x sen 3 x)/(27) + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

int x^2 sen 3 x d x = (cos 3 x (2 - 9 x^2) + 6 x sen 3 x)/(27) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ arctg ⁡ 4 t d t
Calcule a integral.int x^2 cos 3 x d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ x ln ⁡ 1 + x d x
Calcule a integral.int_0^(pi) t sen 3 t d t
Calcule a integral.int_0^((1)/(2)) cos^(- 1) x d x