Calcule a integral indefinida:

∫ x 2 sen ⁡ 3 x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e exponencial) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

d v = sen ⁡ 3 x d x v =   ? u = x 2 d u =   ?

Aqui nos podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = sen ⁡ 3 x d x v = ∫ sen ⁡ 3 x d x = - cos ⁡ 3 x 3 + C u = x 2 d u =   2 x d x

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ x 2 ⏟ u sen ⁡ 3 x d x ⏟ d v = x 2 ⏟ u - cos ⁡ 3 x 3 ⏟ v - ∫ - cos ⁡ 3 x 3 ⏟ v 2 x d x ⏟ d u

∫ x 2 sen ⁡ 3 x d x = - x 2 cos ⁡ 3 x 3 + 2 3 ∫ x cos ⁡ 3 x d x

A integral que apareceu também é resolvida por partes, então vamos aplicar a fórmula nela.

Passo 4

Faremos agora com ∫ x cos ⁡ 3 x d x . Escolhendo u = x .

d v = cos ⁡ 3 x d x v = ∫ cos ⁡ 3 x d x = sen ⁡ 3 x 3 + C u = x d u = 1 d x

Aplicando na fórmula de novo:

∫ x ⏟ u cos ⁡ 3 x d x ⏟ d v = x ⏟ u sen ⁡ 3 x 3 ⏟ v - ∫ sen ⁡ 3 x 3 ⏟ v 1 d x ⏟ d u

∫ x cos ⁡ 3 x d x = x sen ⁡ 3 x 3 - 1 3 ∫ sen ⁡ 3 x d x

∫ x cos ⁡ 3 x d x = x sen ⁡ 3 x 3 - 1 3 - cos ⁡ 3 x 3 + C

∫ x cos ⁡ 3 x d x = x sen ⁡ 3 x 3 + cos ⁡ 3 x 9 + C

∫ x cos ⁡ 3 x d x = 3 x sen ⁡ 3 x + cos ⁡ 3 x 9 + C

Pronto.

Passo 5

Agora vamos substituir na integral inicial:

∫ x 2 sen ⁡ 3 x d x = - x 2 cos ⁡ 3 x 3 + 2 3 ∫ x cos ⁡ 3 x d x

∫ x 2 sen ⁡ 3 x d x = - x 2 cos ⁡ 3 x 3 + 2 3 3 x sen ⁡ 3 x + cos ⁡ 3 x 9 + C

∫ x 2 sen ⁡ 3 x d x = - x 2 cos ⁡ 3 x 3 + 6 x sen ⁡ 3 x + 2 cos ⁡ 3 x 27 + C

∫ x 2 sen ⁡ 3 x d x = - 9 x 2 cos ⁡ 3 x + 6 x sen ⁡ 3 x + 2 cos ⁡ 3 x 27 + C

∫ x 2 sen ⁡ 3 x d x = cos ⁡ 3 x 2 - 9 x 2 + 6 x sen ⁡ 3 x 27 + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

∫ x 2 sen ⁡ 3 x d x = cos ⁡ 3 x 2 - 9 x 2 + 6 x sen ⁡ 3 x 27 + C

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