Um circuito elétrico simples consiste em um indutor de L henrys em serie com um resistor de R ohms , e em t s a força eletromotriz é e^t . Se a corrente for i amperes em t s e i = 0 quando t = 0, expresse i como função de t

Passo 1

A figura 1 mostra um exemplo de circuito RL. Se a gente usar a Lei das malhas Podemos dizer que :

E   =   L d i d t + R i

Passo 2

Este exercício quer uma expressão geral para o circuito .

Expresse i como função de t.

E   =   L d i d t + R i

Podemos reescrever como

  d i d t + R L i =   e t L  

Essa é uma equação não homogênea, então não temos como usar o truque de separar variáveis. O jeito mais fácil é resolver por Fator Integrante. (Se estiver com duvida como prosseguir, da uma olhadinha na teoria. Temos uma seção especial só falando de fator integrante )

Entao se tivermos uma equação no formato

d i d t + g ( t ) i = b ( t )

podemos usar um fator integrante μ t , definido por

μ t = e ∫ g t d t

Passo 3

No nosso caso b(t) = e t L  

g(t) = R L

Logo

μ t = e ∫ g t d t

μ t = e ∫ R L d t

μ t = e R L t

Vamos Multiplicar ambos os lados da nossa equação por μ t

  d i d t + R L i =   e t L  

μ t d i d t + R L i μ t = μ t e t L

Da uma olhada no lado esquerdo e como ele parece uma regra da cadeia. Percebeu ?

d d t i   .   μ t =   μ t d i d t + i d d t μ t

Entao vamos reescrever nossa equação

μ t d i d t + R L i μ t = μ t e t L

d d t i   .   μ t =   μ t e t L

Pronto, agora a parte difícil já foi resolvida. Vamos usar μ t = e R L t e integrar ambos os lados

∫ d d t i   .   e R L t d t =   ∫ e R L t   e t L   d t

i   . e R L t = 1 L ∫ e t R L + 1   d t

i   . e R L t = 1 L   . 1 R L + 1   e t R L + 1 + C

Lembrando que fizemos uma integral indefinida, então temos que acrescentar uma constante arbitraria , C.

i = e t R + L + C e R L t  

Perfeito. Encontramos nossa equação para a corrente , E como Só queremos uma expressão geral . Entao podemos deixar nesse formato

Resposta

i ( t ) = e t R + L + C e R L t  

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