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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.3 - Ex. 3b

Mostre que para todo x , com cos (x)/(2) != 0 , tem-se:

cos x = (1 - tg^2 (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))

Passo 1

Sabemos que tg^2 x + 1 = sec^2 x

Assim:

(1 - tg^2 (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = (1 - tg^2 (x)/(2))/(sec^2 (x)/(2)) = (1)/(sec^2 (x)/(2)) - (tg^2 (x)/(2))/(sec^2 (x)/(2)) = cos^2 (x)/(2) - (((sen (x)/(2))/(cos (x)/(2)))^2)/(((1)/(cos (x)/(2)))^2)

(1 - tg^2 (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = cos^2 (x)/(2) - sen^2 (x)/(2)

Passo 2

Temos a relação do cosseno da soma que nos diz que

cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sen (a) sen (b)

Tomando a = b = (x)/(2) :

(1 - tg^2 (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = cos ((x)/(2) + (x)/(2))

(1 - tg^2 (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = cos x

Logo, mostramos que

cos x = (1 - tg^2 (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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