Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas.

∑ k = 1 ∞ x - 3 n n 3

Passo 1

Oi, tudo bem?

Então, pra saber o intervalo de convergência da série, a gente calcula o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Que no nosso caso é:

lim n → ∞ ⁡ x - 3 n + 1 n + 1 3   x - 3 n n 3 =   l i m n → ∞   x - 3 n + 1 n + 1 3 ⋅ n 3 x - 3 n

=   l i m n → ∞   n 3 | ( x - 3 ) | n + 1 3 = | x - 3 |

Passo 2

A série converge absolutamente para x - 3 < 1 , ou seja:

( 2,4 )

Agora, para x = 2 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3

Essa série converge pelo teste da série alternada.

Já para x = 4 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ 1 n 3

Que é uma série-p, com p > 1 , então converge.

Então, temos que a série converge em:

[ 2,4 ]

Resposta

[ 2,4 ]

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