Circulação ao redor de uma circunferência F = (x^2 + y)i + (x + y)j + (4y^4 - z)k

C: A circunferência na qual o plano z = -y encontra a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 , em sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Como C é uma curva fechada suave, podemos usar o Teorema de Stokes, então

∮ F ∙ d r = ∬ ∇ × F ∙ n   d σ

Neste caso, a curvatura do campo é

∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 + y x + y 4 y 2 - z = 8 y i + 0 j + 1 - 1 k = 8 y i

Como a curva está no plano z + y = 0 , um vetor normal à superfície delimitada pela curva é o vetor normal a esse plano, que pode ser obtido como

∇ z + y = j + k

Portanto,

∇ × F ∙ n = 8 y i ∙ j + k = 0

E para a integral

∮ F ∙ d r = ∬ 0   d σ = 0

Resposta

∮ F ∙ d r = 0

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