Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S r o tF → ⋅ d S F → x , y , z = x 2 y 3 z i → + s e n ( x y z ) j → + x y z k → S é a parte do cone y 2 = x 2 + z 2 que está entre os planos y = 0ey = 3 , orientado no sentido positivo do eixo y .

∫ C F → ⋅ d r → = - 2187 π 4

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 4

Use o teorema de Stokes para calcular

é a parte do cone que está entre os planos , orientado no sentido positivo do eixo .

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem?

Nossa questão aqui pede pra gente usar o Teorema de Stokes para calcular:

Onde é:

E é a parte do cone

que está entre os planos , orientado no sentido positivo do eixo .

Pessoal, o Teorema de Stokes é dado por

onde é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva. E para a integral de linha temos que:

Então, precisamos encontrar o vetor através da parametrização da nossa curva . Com esse vetor em mãos, fazemos o produto escalar entre o vetor da função aplicada nos parâmetros de e o vetor resultada de derivada de : .

Daí, é só resolvermos nossa integral normalmente!

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar identificando nossa curva . Pela descrição do enunciado, nossa superfície é a parte do cone

que está entre os planos , orientado no sentido positivo do eixo .

Precisamos achar uma parametrização para esse cone. A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira . Fazendo na equação do cone:

Então, nossa região de integração é um círculo de raio . Então vamos parametrizar com as equações:

Então, o vetor formado pela parametrização é:

Passo 3

Agora já podemos procurar os dois termos que vão ser integrados: e

Derivando esse vetor em relação a , temos:

Escrevendo o campo vetorial:

Em função das equações parametrizadas

Temos:

Passo 4

Fazendo o produto escalar entre :

somamos o produto das coordenadas dos vetores:

Com

Passo 5

Legal! O próximo passo é colocar na integral!

Já separando a integral da soma numa soma de integrais:

Vamos resolver as duas separadamente. Usando:

A primeira integral fica:

Multiplicando para dentro dos parênteses e rearranjando os termos, ficamos com a seguinte soma:

E consultando numa tabela de integrais temos:

Aplicando os limites, temos:

Passo 6

Agora a segunda integral, por substituição simples:

Fazemos:

E os limites mudam:

Substituindo:

Como estamos fazendo uma integral de um ponto até esse mesmo ponto, nosso intervalo é nulo e nossa integral também:

Agora juntando os resultados temos:

Resposta

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