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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 4

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t   F → ⋅ d S

F → x , y , z = x 2 y 3 z i → + s e n ( x y z ) j → + x y z k →

S é a parte do cone y 2 = x 2 + z 2 que está entre os planos y = 0   e   y = 3 , orientado no sentido positivo do eixo y .

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem?

Nossa questão aqui pede pra gente usar o Teorema de Stokes para calcular:

∬ S r o t F . d S

Onde F é:

F → x , y , z = x 2 y 3 z i → + s e n ( x y z ) j → + x y z k →

E S é a parte do cone

y 2 = x 2 + z 2

que está entre os planos y = 0   e   y = 3 , orientado no sentido positivo do eixo y .

Pessoal, o Teorema de Stokes é dado por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva. E para a integral de linha temos que:

∫ C F . d r = ∫ C F r t . r ' t d t

Então, precisamos encontrar o vetor r t através da parametrização da nossa curva C . Com esse vetor em mãos, fazemos o produto escalar entre o vetor da função F aplicada nos parâmetros de r ( t ) e o vetor resultada de derivada de r ( t ) : r ' ( t ) .

Daí, é só resolvermos nossa integral normalmente!

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar identificando nossa curva C . Pela descrição do enunciado, nossa superfície S é a parte do cone

y 2 = x 2 + z 2

que está entre os planos y = 0   e   y = 3 , orientado no sentido positivo do eixo y .

Precisamos achar uma parametrização para esse cone. A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira y = 3 . Fazendo y = 3 na equação do cone:

x 2 + z 2 = 9

Então, nossa região de integração é um círculo de raio r = 3 . Então vamos parametrizar com as equações:

x = 3 cos ⁡ t

y = 3

z = 3   s e n t

Então, o vetor formado pela parametrização é:

r → t = 3 c o s t i → + 3 j → + 3 s e n t k → = 3 cos ⁡ t , 3 ,   3   s e n   t

Passo 3

Agora já podemos procurar os dois termos que vão ser integrados: F r t e r ' t

r → t = 3 c o s t i → + 3 j → + 3 s e n t k → = 3 cos ⁡ t , 3 ,   3   s e n   t

Derivando esse vetor em relação a t , temos:

r → ' t   = - 3 s e n t i → + 0 j → + 3 c o s t k →

Escrevendo o campo vetorial:

F → x , y , z = x 2 y 3 z i → + s e n ( x y z ) j → + x y z k →

Em função das equações parametrizadas

x = 3 cos ⁡ t

y = 3

z = 3   s e n t

Temos:

F → x t , y t , z t = 729 cos 2 ⁡ t   s e n t i → + s e n ( 27   c o s t   s e n t ) j → + 27 s e n t   c o s t   k →

Passo 4

Fazendo o produto escalar entre F → t ⋅ r → ' t :

F → t ⋅ r → ' t = 729 cos 2 ⁡ t   s e n t , s e n 27   c o s t   s e n t   , 27 s e n t   c o s t   ⋅ - 3 s e n t , 0 ,   3 c o s t

somamos o produto das coordenadas dos vetores:

F → t ⋅ r → ' t = - 2187 cos 2 ⁡ t s e n 2 t + 81   c o s 2 t   s e n t

Com

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 5

Legal! O próximo passo é colocar na integral!

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π 2187 cos 2 ⁡ t s e n 2 t + 81   c o s 2 t   s e n t   d t

Já separando a integral da soma numa soma de integrais:

= ∫ 0 2 π - 2187 cos 2 ⁡ t s e n 2 t   d t + ∫ 0 2 π 81   c o s 2 t   s e n t   d t

Vamos resolver as duas separadamente. Usando:

cos 2 ⁡ t = 1 - s e n 2 t

A primeira integral fica:

∫ 0 2 π - 2187 cos 2 ⁡ t s e n 2 t   d t = ∫ 0 2 π - 2187 1 - s e n 2 t s e n 2 t   d t

Multiplicando s e n 2 t para dentro dos parênteses e rearranjando os termos, ficamos com a seguinte soma:

= ∫ 0 2 π - 2187 s e n 2 t   d t + ∫ 0 2 π 2187 s e n 4 t   d t

E consultando numa tabela de integrais temos:

= - 2187 1 2 t - 1 4 s e n 2 t 0 2 π - 12 32 t - 8 32 s e n 2 t + 1 32 s e n 4 t 0 2 π

Aplicando os limites, temos:

∫ 0 2 π - 2187 cos 2 ⁡ t s e n 2 t   d t = - 2187 2 π 2 - 12 2 π 32 = - 2187 π 4

Passo 6

Agora a segunda integral, por substituição simples:

∫ 0 2 π 81   c o s 2 t   s e n t   d t

Fazemos:

u = cos ⁡ t

d u = - s e n   t   d t  

E os limites mudam:

  • t = 0

    • u = cos ⁡ 0 = 1

  • t = 2 π

u = cos ⁡ 2 π = 1

Substituindo:

- 81 ∫ 1 1 u ⋅ d u = 0

Como estamos fazendo uma integral de um ponto até esse mesmo ponto, nosso intervalo é nulo e nossa integral também:

∫ 0 2 π 81   c o s 2 t   s e n t   d t = 0

Agora juntando os resultados temos:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π 2187 cos 2 ⁡ t s e n 2 t + 81   c o s 2 t   s e n t   d t = - 2187 π 4

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = - 2187 π 4

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