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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.7 - Ex. 13

Nos Exercícios 13-18, utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do campo F através da superfície S na direção da normal unitária exterior n .

13. F = 2 z i + 3 x j + 5 y k

S: r r , θ = r cos ⁡ θ i + r sem ⁡ θ j + 4 - r 2 k

0 ≤ r ≤ 2 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Fazendo uma representação paramétrica usando as variáveis ​​ u e v

r = u cos ⁡ v ,   u sen ⁡ v , 4 - u 2

(Ou seja, não use ``r" tanto para o vetor de posição quanto para o raio). Com isso, vamos calcular as derivadas parciais

∂ r ∂ u = cos ⁡ v , sen ⁡ v , - 2 u

∂ r ∂ v = u s en ⁡ v , u cos ⁡ v , 0

Agora, calculando o vetor normal calculando o produto vetorial dessas duas derivadas.

N = ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v

Substituindo os termos

N = i j k cos ⁡ v sen ⁡ v - 2 u - u sen ⁡ v u cos ⁡ v 0 = 0 - - 2 u 2 cos ⁡ v i - 0 - 2 u 2 sen ⁡ v j + [ u cos 2 ⁡ v + u sen 2 ⁡ v ] k

Com isso, nós temos que

N = 2 u 2 cos ⁡ v , 2 u 2 sen ⁡ v , u

Passo 2

Calculando o rotacional de F e fazendo a reescrita dos componentes em termos de u e v.

∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z M N P = i ∂ P ∂ y - ∂ N ∂ z - j ∂ P ∂ x - ∂ M ∂ z + k ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

Substituindo os termos

∇ × F = i 5 - 0 - j 0 - 2 + k 3 - 0 = 5,2 , 3

Fazendo ∇ × F ∙ N , nós obtemos o seguinte resultado

∇ × F ∙ N = 5,2 , 3 ∙ 2 u 2 cos ⁡ v , 2 u 2 sen ⁡ v , u = 10 u 2 cos ⁡ v + 4 u 2 sen ⁡ v + 3 u

Passo 3

Com isso, a integral fica da seguinte forma

∬ ∇ × F ∙ N   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 10 u 2 cos ⁡ v + 4 u 2 sen ⁡ v + 3 u   d u   d v

Desenvolvendo a integral do lado mais interno, temos

∬ ∇ × F ∙ N   d S = ∫ 0 2 π 10 3 u 3 cos ⁡ v + 4 3 u 3 sen ⁡ v + 3 2 u 2 0 2   d v = ∫ 0 2 π 80 3 cos ⁡ v + 32 3 sen ⁡ v + 6   d v

Que tem como resultado

∬ ∇ × F ∙ N   d S = 80 3 sen ⁡ v - 32 3 cos ⁡ v + 6 v 0 2 π = 0 - 32 3 + 12 π - 0 - 32 3 + 0 = 12 π

Resposta

∬ ∇ × F ∙ N   d S = 12 π

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